A função F(r, θ, z) = (r * cos(θ), r * sen(θ), z) fornece a mudança de vari��veis para coordenadas cilíndricas de eixo z . As coordenadas (r, theta, z) são determinadas a partir do fato de que cada ponto (x, y, z) ∈ R^3 pertence ao cilindro de eixo z e raio igual a r = raiz(x^2 + y^2) = distância do ponto (x, y, z) até o eixo z , sendo theta o ângulo que o segmento da origem até (x, y, 0) faz com o semieixo positivo x no plano x * y .

  1. Determine os pontos (r, theta, z) em torno dos quais é possível inverter a função F .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos os pontos ( r ,   θ ,   z ) em torno dos quais é possível inverter a função F .

Para podermos prosseguir, temos que lembrar do Teorema da Função Inversa, que é dito o seguinte:

“Se temos uma função vetorial F que possui derivada F ' e se sua derivada no ponto X 0 , isto é, F ' X 0 tem inversa. Então podemos garantir que ali perto de X 0 a função F também tem inversa e que essa inversa é diferenciável ”.

Além do mais, a derivada da inversa no ponto Y 0 = F X 0 é o inverso da derivada de F no ponto X 0 .

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... De acordo com o Teorema da Função Inversa, caso J F r ,   θ ,   z ≠ 0 , é garantida a existência da função inversa F - 1 em torno de quaisquer pontos r ,   θ ,   z .

Sendo assim, como J F r ,   θ ,   z = r , F - 1 está garantido para qualquer caso desde que r ≠ 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r ,   θ ,   z com r ≠ 0

Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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