Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

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Enunciado

Uma bomba em repouso explode no espaço e se parte num grande número de pequenos fragmentos. No local da explosão a força gravitacional é zero. Qual das seguintes afirmações sobre esse evento é verdadeira?

(a) A energia cinética é conservada no processo

(b) A soma das energias cinéticas dos fragmentos é necessariamente zero

(c) Todos os fragmentos têm necessariamente a mesma energia cinética

(d) O centro de massa do sistema permanece em repouso após a explosão

(e) As massas dos fragmentos devem ser iguais entre si

Passo 1

Vamos ver cada uma das opções e ver qual delas faz sentido ou não, beleza?

(a) A energia cinética é conservada no processo

Inicialmente a bomba está em repouso, logo a energia cinética inicial do sistema é nula.

K i = 0

Depois que a bomba explode cada pedaço sai com uma certa velocidade v → i e tem uma massa m i . A energia cinética após a explosão é

K f = ∑ i 1 2 m i v i 2

E essa energia é positiva, logo essa afirmação é falsa. De onde vem essa energia? Ela vem da energia química armazenada na bomba antes da explosão.

Passo 2

(b) A soma das energias cinéticas dos fragmentos é necessariamente zero

Vimos no passo anterior que a energia cinética final é positiva e que veio da energia química armazenada da explosão. Então essa afirmação é falsa também.

Passo 3

(c) Todos os fragmentos têm necessariamente a mesma energia cinética

Pra facilitar a vida, vamos supor que a bomba se dividiu em dois pedaços diferentes com massas diferentes m e M que saíram com velocidades v e V , respectivamente. Pela conservação de momento temos que

P → i = P → f

O momento inicial é nulo já que a bomba se encontrava em repouso, assim

0 = M V → + m v →

De forma que podemos relacionar as duas velocidades

v → = M m V →

A energia cinética da primeira partícula vai ser

m v 2 2 = m 2 M m 2 V 2 = 1 2 M V 2 M m

Já a energia da segunda partícula seria

1 2 M V 2

Comparando as duas vemos que as energias cinéticas desses dois pedaços são diferentes! Assim essa afirmação é falsa também.

Passo 4

(d) O centro de massa do sistema permanece em repouso após a explosão

Como inicialmente o centro de massa está em repouso e não há forças externas sobre o sistema então o centro de massa permanece em repouso. Essa afirmação é a verdadeira!

Vamos só ver a última?

Passo 5

(e) As massas dos fragmentos devem ser iguais entre si

Bem, não há nada que conhecemos que afirma que as massas desses fragmentos têm que ser iguais. O que podemos afirmar que elas obedecem é que a soma de todas as massas seja a massa da bomba

∑ i m i = M b o m b a

E pela conservação de momento

0 = ∑ i m i v → i

E isso não é suficiente para afirmamos que todas as massas são iguais. Essa afirmação é falsa também!

Resposta

(d)

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