Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Ver Teoria
Exercício 66123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646567

Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q11

Seja V o espaço vetorial das funções f : 0,1   → R contínuas, munido do produto interno

f , g = ∫ 0 1 f x g x d x

Seja T operador linear de V definido por T f x = f 1 - x , com x ∈ [ 0,1 ] , para todo f ∈ V . Considere as seguintes afirmações:

I . T   é   s i m é t r i c o

I I .   1   é   u m   a u t o v a l o r   d e   T .

I I I .   T   é   i n j e t o r

Está correto o que se afirma em

a   I , I I   e   I I I

b   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I ,   a p e n a s

d   I I   e   I I I ,   a p e n a s

e   I I ,   a p e n a s

Passo 1

Falaaaa, blz?? Vamos começar lembrando que para o operador ser simétrico, temos que:

T f , g = f , T ( g )

Para quaisquer f   e g

Vamos checar:

T ( f ) , g = ∫ 0 1 f 1 - x g x d x

Basta tomarmos y =   1 - x , teremos:

T ( f ) , g = ∫ 0 1 f y g 1 - y d y = f , T ( g )

Logo é simétrico.

Passo 2

Agora bora para afirmação 2.

I I .   1   é   u m   a u t o v a l o r   d e   T .

Bom, para isso ocorrer temos que conseguir achar alguma função contínua em [ 0,1 ] que ocorra:

T f x = f ( x )

Mas veja que ( T f x = f ( 1 - x )

Podemos tomar f x = x ( 1 - x ) , pois veja que f 1 - x = 1 - x 1 - 1 - x = x 1 - x = f ( x )

Logo, nesse caso ( T f x = f 1 - x = f ( x ) , logo 1 é autovalor.

Passo 3

Basta olharmos a última afirmação agora.

I I I .   T   é   i n j e t o r

Bom, para analisar se T é injetor temos que achar o núcleo, se K e r T = { 0 } T é injetor.

Bora tomar uma f   ∈ K e r ( T ) , temos que;

T f x = 0   → f 1 - x = 0

Mas veja que temos uma função do tipo f y = 0 , ou seja, é a própria função nula, logo f = 0   e, portanto, K e r T = 0 → T   i n j e t i v a

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )