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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q16

Seja n um inteiro positivo, e considere as seguintes afirmações sobre o operador linear T : P n R → P n ( R ) definido por T ( p x = x p ' ( x ) , para todo p x ∈ P n ( R ) , em que p ' ( x ) denota a derivada de p ( x ) .

I .   O   o p e r a d o r   T   é   d i a g o n a l i z á v e l .

I I .   A   s o m a   d o s   a u t o v a l o r e s   d e   T   é   n n + 1 2

I I I .   O   o p e r a d o r   T   é   i n v e r s í v e l .

Está correto o que se afirma em

a   I   e   I I ,   a p e n a s

b   I I   e   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I I ,   a p e n a s

d   I I ,   a p e n a s

e   I , I I   e   I I I .

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar a questãozinha pela afirmação I.

I .   O   o p e r a d o r   T   é   d i a g o n a l i z á v e l .

Durante a resolução dessa prova vimos várias formas de dizer que T é diagonalizável, agora vamos ver uma outra forma que é a que mais importante, ao meu ver.

Se conseguimos achar uma base de T formada por autovetores, então T é diagonalizável.

Passo 2

Vamos tomar a base B   de P n R :

B = { 1 , x , x 2 ,   … ,   x n }

Mas veja que ocorre algo interessante nesse operador, pois vamos tomar um elemento dessa base qualquer. Ele é do tipo x i ,   c o m   i ∈ { 0,1 , 2 , … , n }

Mas veja que:

T x i = x i x i - 1 = i x i

Ou seja, temos que x i é um autovetor associado ao autovalor i. Como temos n+1 valores diferentes de i, temos n+1 autovetores (0,1,2,...,n) e portanto B é uma base de T formada por autovetores, logo T é diagonalizável.

Bora para próxima afirmação.

I I .   A   s o m a   d o s   a u t o v a l o r e s   d e   T   é   n n + 1 2

O que está pedindo é a soma 0 + 1 + 2 + … + n

Mas veja que isso é uma P.A de razão 1, primeiro termo 0, último termo n e com n+1 elementos. Colocando na fórmula da soma de P.A:

S n = n ( a n + a 1 ) 2

Onde n é a quantidade, a n o último termo e a 1 o primeiro.

S = ( n + 1 ) ( n + 0 ) 2 = n ( n + 1 ) 2

Logo a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 3

Agora bora para última afirmação.

I I I .   O   o p e r a d o r   T   é   i n v e r s í v e l .

Para que T seja inversível, T deveria ser injetor, porém não é, pois 0 é autovalor.

Em outras palavras, para T ser injetor é necessário que K e r T = { 0 }

Mas como 0 é autovalor, existe v   ≠ 0 tal que:

T v = 0 v = 0

Logo v   ∈ K e r ( T ) , e portanto, K e r T ≠ 0 → T   n ã o   i n j e t o r   ( n ã o   i n v e r s í v e l )

Resposta

Letra A

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