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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q5

Seja n   um interno maior do que 1 e seja A ∈ M n ( R ) . Suponha que A seja diagonalizável e que todos os seus autovalores tenham valor absoluto menos do que 1. Considere as seguintes afirmações:

I .   - 1 < det ⁡ A < 1 .

I I .   T o d o s   o s   a u t o v a l o r e s   d e   A   t ê m   m u l t i p l i c i d a d e   g e o m é t r i c a   n e c e s s a r i a m e n t e   i g u a l   a   1

I I I .     A   m a t r i z   A - I n   é   i n v e r t í v e l .

Passo 1

Falaaa, blz??? Vamos começar pela primeira afirmação. Bom, a questão nos diz que A é diagonalizavel, então podemos tomar A como sendo a matriz diagonal formada pelos autovalores.

Supondo λ 1 , λ 2 , … , λ n   o s   a u t o v a l o r e s   d e   A , ou seja, A é a matriz diagonal formada por esses valores de λ , logo:

det ⁡ A = λ 1 ∙ λ 2 ∙ … ∙ λ n

Como todos autovalores temos:

λ i < 1   ,     ∀   i ∈ { 1,2 , 3 , … , n }

Logo:

det ⁡ A < 1   ∴ - 1 < det ⁡ A < 1

Passo 2

A segunda afirmação basta tomarmos uma matriz que seja diagonalizável e com seus autovalores tendo valor absoluto menor do que 1, porém tendo pelo menos 1 das raízes de seu polinômio característico com multiplicidade maior que 1.

Por exemplo:

1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2

Ela tem todas as propriedades, porém o autovalor 1 2 tem multiplicidade 1.

Passo 3

Bora olhar para essa última afirmação usando que:

A v = λ v   ↔ v   é   a u t o v e t o r   a s s o c i a d o   a   λ

A v - λ v = 0

A - λ I v = 0

Como λ = 1 não é autovalor, temos que a única solução de A - I v seria v = 0 → .

Ou seja, quando calcularmos o polinômio característico, teremos que p 1 ≠ 0 e, portanto, det ⁡ A - I ≠ 0   → A - I   é   i n v e r t í v e l

Resposta

Letra A

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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