Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q13

Considere com o produto interno usual. Sejam , e considere o operador linear definido por

Para todo . Se T é simétrico, então o produto dos autovalores de T é igual a

Passo 1

Falaaa, blz??? Bom, a motivação dessa questão é acharmos primeiro quem são esses valores a e b, para depois acharmos os autovalores. Podemos usar a ideia de que se T é simétrico então a matriz de T é igual a sua transposta.

Como T sai do vamos tomar a base canônica , usaremos que a matriz que representa T tem suas colunas sendo a imagem dessa base por T. Ou seja, a primeira coluna será

Bora achar cada um desses valores.

Bora tomar a matriz agora vamos usar que T é simétrico, então

Ou seja:

Logo

Passo 2

Agora vamos lembrar que para achar os autovalores, precisamos calcular as raízes do polinômio dado por

Usando que , e portanto,

Passo 3

Agora basta calcular o determinante dessa matriz e achar as raízes:

Vamos tomar e teremos achado os autovalores.

Fazendo isso, temos que são raízes.

Logo o produto dos 3 autovalores é 20

Resposta

Letra A

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Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4

Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )