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Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q10

Seja T : R 4 → R 4 o operador linear tal que:

i   K e r T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     : x 1 + x 2 - x 3 = x 3 + x 4 = 0 ;

i i   o   p o l i n ô m i o   c a r a c t e r í s t i c o   d e   T   é   p t = t 4 - t 2 ;

i i i   0,1 , 0,0 ∈ K e r T + I ,   o n d e   I   d e n o t a   o   o p e r a d o r   i d e n t i d a d e   d e   R 4 ;

i v   1,1 , 1,0   é   a u t o v e t o r   d e   T .

Então, T 0,1 , 2,3 é igual a

a   ( 5,11,5 , 0 )

b   ( 0,0 , - 2,3 )

c   ( 2,3 , - 6,5 )

d   ( 0,0 , - 6,5 )

e   ( - 1 , - 8 , - 1,0 )

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, para começar essa questão vamos entender o que precisamos para chegar na resposta.

Quando é pedido T 0,1 , 2,3 nós precisamos achar uma base, ou ainda, a matriz de T, para poder escrever esse vetor como combinação dos outros.

Então vamos de cada afirmação tirar informações para achar o que precisamos.

Passo 2

Da primeira afirmação:

i   K e r T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     : x 1 + x 2 - x 3 = x 3 + x 4 = 0 ;

x 1 + x 2 - x 3 = 0 x 3 + x 4 = 0                    

Tiramos daqui que x 1 + x 2 = x 3 e x 3 = - x 4 ,   o u   s e j a   , ou seja

x 1 = x 3 - x 2

  e   x 4 = - x 3

Logo vamos reescrever K e r T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     : x 1 + x 2 - x 3 = x 3 + x 4 = 0 , com as relações que encontramos

K e r T = x 3 - x 2 , x 2 , x 3 , - x 3 ∈ R 4     : x 2 , x 3 ∈ R

Veja queAgora que temos tudo em função de x 2 e x 3 , podemos reescrever assim:

  x 3 - x 2 , x 2 , x 3 , - x 3 = x 3 1,0 , 1 , - 1 + x 2 ( - 1,1 , 0,0 )

Tomando v 1 = - 1,1 , 0,0   e   v 2 =   1,0 , 1 , - 1  

Logo K e r ( T ) = v 1 , v 2

Passo 3

Agora vamos olhar para terceira afirmação:

i i i   0,1 , 0,0 ∈ K e r T + I ,   o n d e   I   d e n o t a   o   o p e r a d o r   i d e n t i d a d e   d e   R 4 ;

Essa afirmação nos diz o seguinte:

T + I v 3 = 0

Onde v 3 = ( 0,1 , 0,0 )

Ou seja:

T v 3 + I v 3 = 0  

→ T v 3 = - v 3

Passo 4

Agora vamos olhar para segunda afirmação

i i   o   p o l i n ô m i o   c a r a c t e r í s t i c o   d e   T   é   p t = t 4 - t 2 ;

Veja que

V e j a   q u e   t 4 - t 2 = t 2 t 2 - 1 = t 2 ( t + 1 ) ( t - 1 )

Onde as raízes são autovalores do nosso operador.

Ou seja, temos que:

0 é autovalor de multiplicidade 2.

1 é autovalor de multiplicidade 1.

-1 é autovalor de multiplicidade 1.

Pela afirmação 3, achamos que T v 3 = - v 3 , ou seja v 3   é autovetor associado a - 1

Além disso, veja que os vetores que geram o núcleo do operador são autovetores, pois:

T v 1 = 0 = λ v 1

Para λ = 0 isso ocorre tanto para v 1 quanto para v 2 , logo o auto espaço gerado pelo autovalor 0 é o mesmo espaço gerado por v 1   e   v 2

Agora veja, achamos os autovetores associados a 0 e a -1, falta o auto valor 1.

Passo 5

Ou seja, pela afirmação (iv) podemos afirmar que v 4 = ( 1,1 , 1,0 ) é autovetor associado a 1, ou seja:

T v 4 = v 4

Agora basta escrevemos o vetor ( 0,1 , 2,3 ) como combinação dos vetores { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }

a v 1 + b v 2 + c v 3 + d v 4 = ( 0,1 , 2,3 )

a ( - 1,1 , 0,0 ) + b 1,0 , 1 , - 1 + c 0,1 , 0,0 + d 1,1 , 1,0 = ( 0,1 , 2,3 )

Vamos resolver isso escalonando a matriz:

- 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 - 1 0 0 3 → 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 2 0 - 1 0 0 3 → 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1 5 → 1 0 1 1 1 0 0 1 1 - 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1 5

1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 - 1 0 0 0 1 5 → 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 - 1 0 0 0 1 5 → 1 0 0 0 - 2 0 1 0 1 2 0 0 1 1 - 1 0 0 0 1 5 → 1 0 0 0 - 2 0 1 0 0 - 3 0 0 1 0 - 6 0 0 0 1 5

Logo, temos que a = - 2   ; b = - 3 ; c = - 6 ; d = 5

Logo:

a v 1 + b v 2 + c v 3 + d v 4 = ( 0,1 , 2,3 )

- 2 v 1 - 3 v 2 - 6 v 3 + 5 v 4 = 0,1 , 2,3

Portanto T - 2 v 1 - 3 v 2 - 6 v 3 + 5 v 4 = T ( 0,1 , 2,3 )

T 0,1 , 2,3 = T - 2 v 1 ) + T ( - 3 v 2 ) + T ( - 6 v 3 ) + T ( 5 v 4

=   - 2 T v 1 - 3 T v 2 - 6 T v 3 + 5 T v 4

Lembrando que T v 3 = - v 3   e   T v 4 = v 4   e   T v 1 = T v 2 = 0

T 0,1 , 2,3 = 6 v 3 + 5 v 4 = ( 5,11,5 , 0 )

Passo 6

Resposta

Letra A

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