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Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P2,Q1

Considere a transformação linear T : P 3 ( R ) → P 2 R , dada por

T p x = p x + 1 - p x

Para todo p x   ∈ P 3 ( R ) , e seja A a matriz de T em relação as bases

B = 3,2 + x , x 2 , x 3   e   C = 1 , x , 3 - x + x 2

De P 3 R   e   P 2 ( R ) , respectivamente. Então, a soma dos elementos da segunda linha de A é igual a

a   8 ,     b   5 ,     c   0 ,     d - 3 ,                   e - 4

Passo 1

Falaaaa, blz??? Bom, para começar essa questão vamos lembrar como chegamos na matriz de uma transformação linear referente as suas bases.

Se temos B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4   e   C = u 1 , u 2 , u 3   b a s e s   d e   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   T : X → Y , onde dim ⁡ X = 4   e dim ⁡ Y = 3 .

Temos que:

a primeira coluna da matriz transformação será o vetor T v 1 escrito na base C

a segunda coluna da matriz transformação será o vetor T v 2 escrito na base C

a terceira coluna da matriz transformação será o vetor T v 3 escrito na base C

a quarta coluna da matriz transformação será o vetor T v 4 escrito na base C

Além disso, um vetor w = ( a , b , c ) na base C é do tipo w = a u 1 + b u 2 + c u 3

Passo 2

Essa é toda informação que precisamos para montar a matriz transformação, então vamos lá, descobrir a primeira coluna da matriz (precisamos do T ( 3 ) ).

V a m o s   t o m a r   p x = 3

Logo p x + 1 = 3 também

Colocando em T p x = p x + 1 - p x

T 3 = 3 - 3 = 0 = 0 1 + 0 x + 0 3 - x + x 2 = 0,0 , 0 C

Agora bora achar a segunda coluna:

V a m o s   t o m a r   p x = 2 + x

Logo p x + 1 = 2 + x + 1 = 3 + x

T 2 + x = 3 + x - 2 - x = 1 = 1 1 + 0 x + 0 3 - x + x 2 = 1,0 , 0 C

Vamos para terceira coluna:

T o m a n d o   p x = x 2

Logo p x + 1 = x + 1 2 = x 2 + 1 + 2 x

T x 2 = x 2 + 1 + 2 x - x 2 = 2 x + 1 = 1 1 + 2 x + 0 3 - x + x 2 = 1,2 , 0 C

E agora a última coluna:

T o m a n d o   p x = x 3

Então p x + 1 = x + 1 3 = x 3 + 1 + 3 x 2 + 3 x

T x 3 = x 3 + 1 + 3 x 2 + 3 x - x 3 = 3 x 2 + 1 + 3 x

Agora queremos saber como escrever T ( x 3 ) como combinação dos vetores de C.

3 x 2 + 1 + 3 x = a 1 + b x + c 3 - x + x 2 = a , b , c C

Basta achar quem é a,b,c

a + b x + 3 c - c x + c x 2 = 3 x 2 + 1 + 3 x

3 x 2 + 3 x + 1 = c x 2 + x b - c + 1 ( a + 3 c )

c = 3                   b - c = 3     a + 3 c = 1

Logo, temos que b = 6 ,   c = 3   e   a = - 8

Portanto T x 3 = a , b , c C = - 8,6 , 3 C

Passo 3

Passo 4

E fazendo o que já foi comentado, vamos escrever nossa matriz:

A = 0 1 1 - 8 0 0 2 6 0 0 0 3

Portanto, a soma dos elementos da segunda linha é 8

Resposta

Letra A

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