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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q12

Considere as seguintes afirmações sobre operadores lineares S e T definidos em um mesmo espaço vetorial com produto interno.

I .     S e   S   e   T   s ã o   s i m é t r i c o s   e   S   ∙ T = T ∙ S ,   e n t ã o   o   o p e r a d o r   S ∙ T   é   s i m é t r i c o .

I I .   S e   T   é   s i m é t r i c o   e   i n v e r s í v e l ,   e n t ã o   T - 1     é   s i m é t r i c o .

I I I .     S e   S   e   T   s ã o   s i m é t r i c o s   e   S ∙ T = T ∙ S ,   e n t ã o   S   e   T   p o s s u e m   o s   m e s m o s   a u t o v a l o r e s

Está correto o que se afirma em

a   I   e   I I ,   a p e n a s .

b   I I   e   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I I ,   a p e n a s

d   I I ,   a p e n a s

e   I ,   I I   e   I I I .

Passo 1

Falaaa, tranquilo??

Nessa questão, a gente precisa avaliar 3 afirmações sobre 2 operadores lineares.

Vamos começar lembrando que para os operadores S e T serem simétrico, temos que:

S ( T v ) , w = T ( v ) , S ( w )

Passo 2

Agora bora para primeira afirmação.

I .     S e   S   e   T   s ã o   s i m é t r i c o s   e   S   ∙ T = T ∙ S ,   e n t ã o   o   o p e r a d o r   S ∙ T   é   s i m é t r i c o .

Como S e T são simétricos, podemos aplicar aquela relação do passo 1. E vamos aplicar 2 vezes:

S ( T v ) , w = T ( v ) , S ( w ) = v , T ( S w )

Mas S T w = T S w ,   p e l o   e n u n c i a d o ,   l o g o :

S ( T v ) , w = T ( v ) , S ( w ) = v , T ( S w ) = v , S ( T w )

Logo, como S ( T v ) , w = v , S ( T w )   → S ∙ T     é   s i m é t r i c o

Passo 3

Agora bora para próxima afirmação.

I I .   S e   T   é   s i m é t r i c o   e   i n v e r s í v e l ,   e n t ã o   T - 1     é   s i m é t r i c o .

Para que T - 1     seja simétrico, precisamos que

T - 1 v , w = v , T - 1 ( w )

Mas veja que se T   é inversível, temos que T   ∙ T - 1 = I

Vamos sair de T - 1 v , w e tentar chegar na outra equação.

T - 1 v , w =   T - 1 v , T   ( T - 1 w )

Mas como T é simétrico, podemos compor o T da direita na esquerda:

T - 1 v , T   ( T - 1 w ) =   T ( T - 1 v ) , ( T - 1 w ) = v ,   T - 1 ( w )

Ou seja, o que queríamos.

Passo 4

Bora para última:

I I I .     S e   S   e   T   s ã o   s i m é t r i c o s   e   S ∙ T = T ∙ S ,   e n t ã o   S   e   T   p o s s u e m   o s   m e s m o s   a u t o v a l o r e s

Essa questão parece ser mentira, pelo menos a intuição diz isso, pois sair de operadores simétricos e que comutam e achar algo sobre autovalores parece difícil. Bora tomar um exemplo e ver o que ocorre.

A ideia é que temos que tomar 2 exemplos de operadores em que ocorra S ∙ T = T ∙ S

Podemos tomar T = I , o operador identidade, pois ele comuta com outros operadores, logo isso funciona. Além disso basta tomar um operador S = 2 T , por exemplo. Ambos são simétricos e comutam, mas temos autovalores diferentes (o de T é 1 e o de S é 2)

Resposta

Letra A

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