Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Diagonalização

Ver Teoria
Exercício 49123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091

Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q2

Sejam a , b   ∈ R . Sobre a matriz A =   a b 0 0 1 2 0 0 2 , é correto afirmar que

a   s e   A   é   d i a g o n a l i z á v e l   e   b ≠ 0 ,   e n t ã o   a ≠ 1   e   a ≠ 2

b   s e   b = 0 ,   e n t ã o   A   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l .

c   A   é   s e m p r e   d i a g o n a l i z á v e l

d   s e   a = 2 ,   e n t ã o   A   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   q u a l q u e r   q u e   s e j a   b .

e   s e   a = 1 ,   e n t ã o   A   é   d i a g o n a l i z á v e l   q u a n d o   b = 1 .

Passo 1

Falaaa, blz??? Vamos começar essa questão lembrando o que precisamos para uma matriz ser diagonalizável.

Para uma matriz M :   n   × n ser diagonalizável precisamos de 2 coisas:

i   T o d a s   r a í z e s   d o   s e u   p o l i n ô m i o   c a r a c t e r í s t i c o   s ã o   r e a i s

i i   S e   a   m u l t i p l i c i d a d e   d e   u m a   r a i z   α   m α ≠   1 ,   t e m o s   q u e   m α = n - p o s t o ( M )  

Passo 2

Bom, para começarmos vamos achar o polinômio característico e suas possíveis raízes.

p λ = d e t ⁡ ( A - λ I )

A - λ I =   a b 0 0 1 2 0 0 2 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =   a - λ b 0 0 1 - λ 2 0 0 2 - λ

Logo det ⁡ A - λ I = det ⁡   a - λ b 0 0 1 - λ 2 0 0 2 - λ

Por LaPlace na primeira coluna:

a - λ 1 - λ 2 0 2 - λ = a - λ 1 - λ 2 - λ ]  

p λ = a - λ 2 - λ - 2 λ + λ 2  

p λ = a - λ 2 - 3 λ + λ 2

Agora vamos olhar para as raízes:

p λ = 0   ↔   a - λ = 0     o u   2 - 3 λ + λ 2 = 0  

Da primeira temos que λ = a   é   r a i z

Da segunda temos que 2 - 3 λ + λ 2 = 0   → λ = 1   e   λ = 2

Passo 3

Agora, veja que todas raízes (a,1,2) são reais e todas tem multiplicidade 1 desde que a ≠ 1   e   a ≠ 2

Logo, nesse caso é diagonalizável. (Letra A) tá certa. Nem precisamos analisar o posto da matriz, pois não temos que a multiplicidade delas sendo diferente de 1, nesse caso acima.

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.