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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q14

Seja T :     R 5 → R 5 um operador linear cujos polinômios característicos é p t = - t 3 ( t + 1 ) ( t - 3 ) . Denote o operador identidade de R 5 por I. Qual das seguintes afirmações é falsa?

a   S e   T   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   e n t ã o dim ⁡ I m T + dim ⁡ I m T + I + dim ⁡ I m T - 3 I = 5 .

b   V a l e dim ⁡ K e r T + I = 1 .

c   S e dim ⁡ I m T = 3 ,   e n t ã o   T   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l .

d   V a l e dim ⁡ K e r T + dim ⁡ K e r T + I + dim ⁡ K e r T - 3 I ≤ 5

e   S e   v ∈ R 5   é   t a l   q u e   T v = 2 v ,   e n t ã o   v   é   o   v e t o r   n u l o .

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora começar pela primeira afirmação.

a   S e   T   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   e n t ã o dim ⁡ I m T + dim ⁡ I m T + I + dim ⁡ I m T - 3 I = 5 .

Nessa afirmação vamos usar uma ideia parecida com a que usamos numa parte da questão 10.

Para checar em algo sobre a dimensão de imagens é análogo analisarmos a dimensão do núcleo. Pois temos a relação entre os 2 pelo teorema núcleo imagem.

Passo 2

Veja que pelo enunciado temos que 0 ,   - 1   e   3   s ã o   a u t o v a l o r e s

Mas vamos lá, analisar cada caso.

Se 0 é autovalor, existe um v tal que:

T v = 0 v = 0

Ou seja, vamos usar como notação o auto espaço gerado pelo autovalor λ sendo V ( λ )

Nesse caso V 0 = K e r ( T )

Agora bora analisar o autovalor -1. Se -1 é autovalor, existe v tal que:

T v = - v → T v + v = 0 ∴ T + I v = 0

Logo, v ∈ K e r T + I   e   p e l a   p r o p o s t a   d e   v ,   t e m o s   q u e   V - 1 = K e r ( T + I )

Bora analisar o último autovalor.

Pela mesma análise, se 3 é autovalor, existe v tal que:

T v = 3 v → T v - 3 v = 0   ∴ T - 3 I v = 0

E pelos mesmos argumentos, V 3 = K e r ( T - 3 I )

Mas se T é diagonalizável e temos esses 3 autovalores, podemos escrever R 5 como soma direta dos autos espaços gerados pelos autovalores. Ou seja:

R 5 = V 0 ⊕ V - 1 ⊕ V ( 3 )

Ou seja:

5 = dim ⁡ V 0 + dim ⁡ V - 1 + d i m ⁡ ( V 3  

Mas vamos usar que V 0 = K e r T   , V - 1 = K e r T + I   e   V 3 = K e r ( T - 3 I )    

Logo:

5 = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ K e r T + I + dim ⁡ K e r T - 3 I

Agora bora relembrar o teorema do núcleo imagem:

Seja W : U → V uma transformação linear, então dim ⁡ U = dim ⁡ K e r W + d i m ⁡ ( I m W )

Passo 3

Ou seja:

dim ⁡ K e r T = 5 - dim ⁡ I m T

dim ⁡ K e r T + I = 5 - dim ⁡ I m T + I

dim ⁡ K e r T - 3 I = 5 - d i m ⁡ ( I m T - 3 I )

Substituindo em dim ⁡ K e r T + dim ⁡ K e r T + I + dim ⁡ K e r T - 3 I = 5 :

5 - dim ⁡ I m T + 5 - dim ⁡ I m T + I + 5 - dim ⁡ I m T - 3 I = 5

Logo:

15 = dim ⁡ I m T + dim ⁡ I m T + I + dim ⁡ I m T - 3 I

Portanto a letra A é falsa.

Resposta

Letra A

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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