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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q8

Sejam α , β ∈ R . Sobre a matriz A =   1 1 α 0 0 β 0 0 1 , está correto afirmar que ela

a   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   α = - β

b   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   α = β

c   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   q u a i s q u e r   q u e   s e j a m   α   e   β

d   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   α = β = 0

e   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   q u a i s q u e r   q u e   s e j a m   α   e   β

Passo 1

Falaaaa, blz??? Bora começar a questão relembrando o conceito de diagonalizável.

Para uma matriz M :   n   × n ser diagonalizável precisamos de 2 coisas:

i   T o d a s   r a í z e s   d o   s e u   p o l i n ô m i o   c a r a c t e r í s t i c o   s ã o   r e a i s

i i   S e   a   m u l t i p l i c i d a d e   d e   u m a   r a i z   α   m α ≠   1 ,   t e m o s   q u e   m α = n - p o s t o ( M - λ α I )  

Bom, agora fica mais claro qual caminho devemos fazer. Acharemos o polinômio característico e depois analisaremos quando que as 2 propriedades ocorrem.

Passo 2

Sendo p λ   o polinômio característico, temos que:

p λ = det ⁡ A - λ I = d e t ⁡ ( 1 1 α 0 0 β 0 0 1 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

p λ = det ⁡ 1 - λ 1 α 0 -   λ   β 0 0 1 - λ

p λ = 1 - λ - λ β 0 1 - λ = 1 - λ - λ 1 - λ =   - λ 1 - λ 2

Logo, suas raízes são reais (0 e 1), basta olharmos a segunda condição.

Devemos olhar para a raiz 1, pois ela é a única com multiplicidade diferente de 1, no caso sua multiplicidade é 2.

Precisamos, portanto, que 2 = 3 - p o s t o A - I → p o s t o A - I = 1

Passo 3

Ou seja, para A ser diagonalizável, o posto de ( A - I ) deve ser 1. Vamos ver quando isso ocorre.

posto 1 1 α 0 0 β 0 0 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = p o s t o 0 1 α 0 - 1 β 0 0 0 = p o s t o 0 1 α 0 0 α + β 0 0 0

Ou seja, precisamos que α + β = 0

Resposta

Letra A

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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