USP, 2018.2, P2, Q3
Considere as seguintes afirmações sobre uma matriz de polinômio característico .
Está correto o que se afirma em:
Passo 1
Falaaa, beleza?? Para começar essa primeira afirmação vamos lembrar que A é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.
Além disso, temos que , pois p é o polinômio característico. Ou seja, para acharmos o basta tomar
. Como
Passo 2
Agora para segunda afirmação vamos lembrar o que é diagonalizável.
Para uma matriz ser diagonalizável precisamos de 2 coisas:
Para começar vamos analisar as raízes do polinômio dado.
Veja que é raíz, pois
Agora reduzindo o grau do polinômio sabendo que 1 é uma das raízes:
Por Briot-Ruffini, temos:
Logo
Além disso, temos que
Logo e, portanto, temos 1 sendo uma raiz de multiplicidade 2 e 2 como raiz de multiplicidade 1
Ou seja, todas raízes são reais, agora basta mostrar a segunda afirmação.
Para que a matriz seja diagonalizável, temos que:
Logo, precisariamos que posto(M) = 1. Mas veja que isso não precisa ser verdade, basta pegarmos uma matriz que tenha posto diferente de 1.
Passo 3
A última afirmação é falsa, pois os autovalores são as raízes do polinômio e já achamos que elas são 1 e 2
Resposta
Letra A