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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, 2018.2, P2, Q3

Considere as seguintes afirmações sobre uma matriz A   ∈ M 3 R de polinômio característico p t = - t 3 + 4 t 2 - 5 t + 2 .

I .   A   é   i n v e r t í v e l ;

I I .   A   é   n e c e s s a r i a m e n t e   d i a g o n a l i z á v e l ;

I I I .   - 2   é   u m   a u t o v a l o r   d e   A

Está correto o que se afirma em:

a   I   a p e n a s ,             b   I , I I   e   I I I ,           c   I   e   I I I   a p e n a s ,           d   I I   a p e n a s ,     e   I I   e   I I I   a p e n a s

Passo 1

Falaaa, beleza?? Para começar essa primeira afirmação vamos lembrar que A é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.

Além disso, temos que p t = - t 3 + 4 t 2 - 5 t + 2 = d e t ⁡ ( A - t I )   , pois p é o polinômio característico. Ou seja, para acharmos o det ⁡ A   basta tomar t = 0

p 0 = det ⁡ A - 0 I = det ⁡ A = 2 . Como 2 ≠ 0 → A   é   i n v e r t í v e l .

Passo 2

Agora para segunda afirmação vamos lembrar o que é diagonalizável.

Para uma matriz M :   n   × n ser diagonalizável precisamos de 2 coisas:

i   T o d a s   r a í z e s   d o   s e u   p o l i n ô m i o   c a r a c t e r í s t i c o   s ã o   r e a i s

i i   S e   a   m u l t i p l i c i d a d e   d e   u m a   r a i z   α   m α ≠   1 ,   t e m o s   q u e   m α = n - p o s t o ( M )  

Para começar vamos analisar as raízes do polinômio dado.

p t = - t 3 + 4 t 2 - 5 t + 2 = 0

Veja que t = 1   é raíz, pois - 1 + 4 - 5 + 2 = 0

Agora reduzindo o grau do polinômio sabendo que 1 é uma das raízes:

Por Briot-Ruffini, temos:

1   | - 1     4   - 5     2

1   | - 1   3   - 2   0

Logo = - t 3 + 4 t 2 - 5 t + 2 = t - 1 - t 2 + 3 t - 2

Além disso, temos que - t 2 + 3 t - 2 = - ( t - 1 ) ( t - 2 )

Logo p t =   - t - 1 2 ( t - 2 ) e, portanto, temos 1 sendo uma raiz de multiplicidade 2 e 2 como raiz de multiplicidade 1

Ou seja, todas raízes são reais, agora basta mostrar a segunda afirmação.

Para que a matriz seja diagonalizável, temos que:

m 1 = 2 = 3 - p o s t o M

Logo, precisariamos que posto(M) = 1. Mas veja que isso não precisa ser verdade, basta pegarmos uma matriz que tenha posto diferente de 1.

Passo 3

A última afirmação é falsa, pois os autovalores são as raízes do polinômio e já achamos que elas são 1 e 2

Resposta

Letra A

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.