USP, 2018.2, P2, Q15
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja um operador linear cujo polinômio característico é , em que a e b são números reais distintos. Sejam vetores não nulos tais que . Detone o operador identidade de V por I. Qual das seguintes afirmações é FALSA?
Passo 1
Falaaa, blz??? Bora começar essa questão pela primeira afirmação:
Se é autovetor, então:
Mas pela linearidade de T, temos que:
Mas teríamos, nesse caso:
Mas é dito no enunciado que , ou seja, v e w são autovetores associados a autovalores diferentes, e portanto, são linearmente independentes.
Mas se eles são L.I, temos que
Ou seja, a primeira afirmação é falsa.
Letra (b):
É exatamente o resultado que acabamos de usar, se temos autovetores associados a autovalores distintos, eles são L.I
Passo 2
Bora para letra (c)
Ela é verdadeira, basta olhar para as raízes do polinômio característico , veja que as únicas raízes são a e b.
Agora bora para a letra (d):
Bom, nessa aqui vamos lembrar que para T ser diagonalizável temos que a multiplicidade algébrica de seus autovalores deve ser igual a multiplicidade geométrica.
Veja que se
Vamos relembrar que a multiplicidade geométrica é igual a dimensão do auto espaço gerado pelo autovalor, mas veja que , pois:
Ou seja, podemos afirmar que , onde é o auto espaço gerado pelo autovalor a.
Logo, a multiplicidade geométrica de a é 1 e a algébrica é 2 (quantidade de vezes que essa raíz aparece no polinômio), como elas são iguais T não é diagonalizável.
Passo 3
Bora para última afirmação:
Bora usar o que usamos nessa última letra agora, pois se T é diagonalizável a multiplicidade algébrica é igual a geométrica, ou seja:
Ou seja, existem dois vetores linearmente independentes de que formam uma base desse espaço, então, podemos tomar .
Além disso, temos que u e v são autovetores associados ao autovalor a. Basta ver que:
Logo:
O mesmo vale para v.
Resposta
Letra A