P4 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.1

Sabendo que

Calcule, em função de :

Sejam , , bases do espaço vetorial , e sejam

matrizes de mudança de base. Então:

Seja uma matriz , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de :

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Se uma transformação linear for uma rotação em torno de um eixo, então não é autovalor de .
2. Se o polinômio característico da matriz for então o autoespaço de associado ao autovalor tem dimensão .

I é falsa e II é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

I é verdadeira e II é falsa

Sejam e duas matrizes. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Se , então e podem ser ambas não nulas.
2. Se e , então e têm que ser matrizes quadradas.

I é falsa e II é verdadeira

Ambas são falsas

I é verdadeira e II é falsa

Ambas são verdadeiras

Seja uma matriz . Deseja-se construir uma matriz de forma que o produto seja uma matriz satisfazendo:

1. A primeira linha de é igual à soma de todas as colunas de
2. A segunda linha de é igual à primeira linha de menos a metade da soma das duas últimas linhas de .

Qual a soma de todos os elementos da matriz ?

Assinale o valor de na solução do sistema:

Sejam e e seja um vetor não-nulo e ortogonal a ambos. A transformação linear satisfaz e . Então podemos afirmar que é igual a:

Assinale o conjunto solução que representa uma reta em :

O sistema abaixo não tem solução. Encontre a melhor aproximação no sentido dos Mínimos Quadrados:

Assinale a matriz que pode ser a inversa da matriz

Ajustando-se uma reta aos dados abaixo:

Obtêm-se os coeficientes e . Use esta informação para calcular , a projeção ortogonal de sobre o complemento ortogonal de , onde

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Um sistema linear com mais equações que incógnitas sempre possui solução.
2. Um sistema linear com menos equações que incógnitas sempre possui solução.

I é falsa e II é verdadeira

Ambas são falsas

Ambas são verdadeiras

I é verdadeira e II é falsa

Assinale abaixo o subconjunto do que é um subespaço vetorial:

O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas positivas

O conjunto dos pontos cujas coordenadas são iguais

O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas não-nulas

O conjunto dos pontos cujas coordenadas são distintas

Qual dos subconjuntos abaixo é subespaço vetorial de ?

Considere as afirmativas abaixo sobre , um sistema linear com duas equações incompatíveis.

1. não é sobrejetiva
2. pode ser injetiva

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é falsa

Calcule as coordenadas do vetor na base :

Seja um subespaço de e o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:

Existe um vetor de que não pertence à soma de e .

A dimensão de é maior ou igual à dimensão de

Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então

Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então .

Seja o cubo no gerado pelos vetores da base canônica (o volume de é ). Seja a transformação linear associada a uma matriz tal que , onde é a matriz identidade . Seja a imagem de por . O volume de é:

Seja . Para , o valor de :

É positivo ou negativo, dependendo de

É sempre negativo; independentemente de

É positivo ou zero, dependendo de

É sempre positivo; independente de