Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Se uma transformação linear for uma rotação em torno de um eixo, então não é autovalor de .
2. Se o polinômio característico da matriz for então o autoespaço de associado ao autovalor tem dimensão .

I é falsa e II é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

I é verdadeira e II é falsa

Afirmação I:

De fato em geral rotações no terão o autovalor e um par de autovalores complexos. No entanto, já vimos que quando temos uma rotação de , ela configura uma reflexão e passa a ter o autovalor ;)

Então essa é falsa.

Afirmação II:

É falsa, pois a dimensão do autoespaço, multiplicidade geométrica, não é a mesma coisa que o número de vezes que um autovalor é raiz do polinômio característico, multiplicidade algébrica.

Pegue por exemplo a matriz:

Seu polinômio característico é , e o autoespaço associado a possui dimensão .