Sejam A e B duas matrizes. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se A B = 0 , então A e B podem ser ambas não nulas.
  2. Se A B = 0 e B A = 0 , então A e B têm que ser matrizes quadradas.

a   I é falsa e II é verdadeira

b   Ambas são falsas

c   I é verdadeira e II é falsa

d   Ambas são verdadeiras

Passo 1

Afirmação I:

Podemos pegar A e B sendo vetores linha e coluna assim oh:

A = 1   1 .   B = 1 - 1 ∴

A B = 1   1 ⋅ 1 - 1 = 0

Logo a afirmativa é verdadeira, uma vez que ela não restringiu a dimensão das matrizes.

Passo 2

Afirmação II:

Vamos pegar essa duas matrizes por exemplo:

A = 1 1 0 0 0 0 ,   B = 0 0 0 0 0 0

Agora vamos fazer as multiplicações do enunciado.

A B = 1 1 0 0 0 0 ⋅ 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B A = 0 0 0 0 0 0 ⋅ 1 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0

Como o enunciado não disse que as matrizes são não nulas, usando essa escolha de matriz podemos ver que não necessitamos que as matrizes sejam quadradas. Logo a afirmativa é falsa.

Resposta

Letra ( c )

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