Assinale abaixo o subconjunto do R 2 que é um subespaço vetorial:

a   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas positivas

b   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são iguais

c O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas não-nulas

d   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são distintas

Passo 1

Tá, pra ser um subespaço o conjunto tem que satisfazer três condições:

  • O vetor nulo tem que pertencer a ele.
  • Ele tem que ser fechado para a soma.
  • Ele tem que ser fechado para a multiplicação por escalar.

Vamos testar as letras:

a Se multiplicarmos algum vetor de coordenadas positivas por um escalar negativo ele passa a ter coordenadas negativas! Logo, a letra a não é fechada para produto por escalar.

b Ele tem o vetor nulo 0,0 já que as coordenadas são iguais. Se somarmos dois vetores com coordenadas iguais o resultado naturalmente vai ter coordenadas iguais. E, por fim, se multiplicarmos por um escalar ele continua tendo coordenadas iguais também! Então essa letra é a correta! Mas vamos ver as outras pra ganhar mais experiência haha.

c Se as coordenadas são não nulas ele não tem o vetor nulo, então ta fora já!

d Vamos pegar os vetores 1,2 e 2,1 . Ambos têm coordenadas distintas, mas se fizermos:

1,2 + 2,1 = 3,3

Opa, ele não é fechado para a soma também! Também poderíamos dizer que ele não contém o vetor nulo já que o 0,0 tem as coordenadas iguais.

Resposta

Letra ( b )

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