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Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

A2 T10 A3 T4

Sejam u = ( 2,2 , 0 ) e v = ( 1,0 , 1 ) e seja w um vetor não-nulo e ortogonal a ambos. A transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 satisfaz T v = v ,   T u = u e T w = 0 . Então podemos afirmar que T ( 4 , 1,0 ) é igual a:

a   3,0 , 1

b   3,1 , 2

c   3,2 , 1

d   ( 3,2 , 0 )

Passo 1

Bom, podemos ver que u e v são L I . Assim, se acharmos um terceiro vetor L I aos dois teteremos uma base para o R 3 e com isso vamos poder gerar qualquer vetor, incluindo o ( 4 , 1,0 ) . Após isso, basta aplicar a transformação para saber a imagem de ( 4 , 1,0 ) . Muito difícil?? Vamos com calma.

Primeiramente vamos achar quem é w , afinal com ele podemos completar a base, pois se ele é ortogonal também é L I .

2,2 , 0 , x , y , z = 0 ⇒ 2 x + 2 y = 0 ⇒ x + y = 0 1,0 , 1 , x , y , z = 0 ⇒ x + z = 0

x + y = 0 ⇒ y = - x x + z = 0 ⇒ z = - x

x , y , z = x , - x , - x = x ( 1 , - 1 , - 1 )

Então, w pode ser qualquer múltiplo do vetor acima, vamos tomar como:

w = ( 1 , - 1 , - 1 )

Passo 2

Pronto! Já temos o vetor w , então vamos definir uma base β para o R 3 :

β = 2,2 , 0 , 1,0 , 1 , 1 , - 1 , - 1

Agora que temos uma base, podemos escrever qualquer vetor como C L dessa base e a vantagem é que sabemos a imagem desses vetores da base! Portanto, já podemos calcular o vetor ( 4 , 1,0 ) :

4,1 , 0 = 2,2 , 0 + 1,0 , 1 + 1 , - 1 , - 1 ⇒

T 4,1 , 0 = T 2,2 , 0 + 1,0 , 1 + 1 , - 1 , - 1

Mas como T é linear, distribuir a transformação:

T 4,1 , 0 = T 2,2 , 0 + T 1,0 , 1 + T 1 , - 1 , - 1 ⇒

T 4,1 , 0 = 2,2 , 0 + 1,0 , 1 + 0,0 , 0 ⇒

T 4,1 , 0 = ( 3,2 , 1 )

Resposta

Letra ( c )

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