A largura dos ombros de pessoas é uma v.a. Normal de média 45   c m e desvio padrão de 3   c m . Pretende-se dimensionar o corredor de uma casa, de forma a permitir a passagem de duas pessoas, de maneira confortável. Considera-se preenchida as condições de conforto quando há uma folga de 5   c m entre os ombros de 2 pessoas e entre os ombros e as paredes.

(a) Um projetista desenhou o corredor com 112   c m de largura; qual a probabilidade da passagem se dar de maneira confortável?

(b) Que largura deve ter o corredor para permitir, em 99 % dos casos, a passagem de duas pessoas, ocorra de maneira confortável?

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probest. Vamos analisar as informações do enunciado. Temos uma variável aleatória X que mede a largura dos ombros de uma pessoa com média 45   c m e desvio padrão de 3   c m .

X ∼ N ( 45,9 )

Nossa situação é a seguinte. Temos que duas pessoas passam confortavelmente em um corredor se há uma folga de 5   c m entre os ombros de 2 pessoas e entre os ombros e as paredes.

Ou seja, para as pessoas passarem confortavelmente o corredor precisa ter, pelo menos

X + Y + 5 + 5 + 5   c m

As larguras dos ombros das pessoas, mais as folgas necessárias

Vamos fazer a letra a )

Passo 2

a ) Um projetista desenhou o corredor com 112   c m de largura; qual a probabilidade da passagem se dar de maneira confortável?

Bem, como comentamos no passo 1 , o corredor precisa ter, pelo menos

112 ≥ X + Y + 5 + 5 + 5

As larguras dos ombros das pessoas, mais as folgas necessárias

Agora, vimos que

X ∼ N ( 45,9 )

Y ∼ N ( 45,9 )

Logo,

X + Y ∼ N ( 90,18 )

Então

X + Y + 15 ∼ N ( 105,18 )

Vamos chamar essa variável de W

W ∼ N ( 105,18 )

Ou seja, queremos calcular

P ( 112 ≥ X + Y + 5 + 5 + 5 )

= P ( W ≤ 112 )

Ora mas como temos uma distribuição normal, podemos tirar a média de W e dividir pelo seu desvio padrão. Fazendo isso, temos que

W - 105 18 ∼ N ( 0,1 )

Logo

P ( W ≤ 112 ) =   P ( W - 105 18 ≤ 7 4.24 )

= P ( Z ≤ 1.65 )

Onde Z ∼ N ( 0,1 )

Consultando uma tabela z . Podemos obter o valor dessa probabilidade, que é:

P ( Z ≤ 1.65 ) = 0.95

Logo a probabilidade das pessoas passarem confortavelmente nesse corredor é de 95 %

Passo 3

Letra b )

Que largura deve ter o corredor para permitir, em 99 % dos casos, a passagem de duas pessoas, ocorra de maneira confortável?

Ou seja, queremos saber qual é o valor de x tal que

P ( X ≥ X + Y + 5 + 5 + 5 ) = 0.99

⇒ P ( W ≤ x ) = 0.99

onde W ∼ N ( 105,18 )

Ora mas como temos uma distribuição normal, podemos tirar a média de W e dividir pelo seu desvio padrão. Fazendo isso, temos que

W - 105 18 ∼ N ( 0,1 )

Logo

P ( W ≤ x ) = 0.99

⇒ P ( W - 105 9 ≤ x - 105 18 ) = 0.99

⇒ P ( Z ≤ x - 105 18 ) = 0.99

Agora olhando a tabela z , o valor y tal que

P ( Z ≤ y ) = 0.99

é y = 2.33

Dessa forma, temos a seguinte igualdade

x - 105 18 = 2.33

⇒ x = 114.9   c m

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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