UFRJ; Sem campus; Probest; P2; 2022.2; Questão 4
Uma fábrica produz peças de metal que possuem cobre em sua composição. É sabido que a quantidade de cobre em cada peça segue uma distribuição normal com média de quando o processo de produção está sob controle. Se a média for diferente, o processo é dito estar fora de controle. Periodicamente, para fins de verificação do processo de produção, uma amostra aleatória de 10 peças é coletada e o nível de cobre é medido. Na verificação mais recente, obteve-se média amostral de e desvio padrão amostral de
(a) Ao nível de de significância, pode-se dizer que o processo está sob controle? Especifique formalmente as hipóteses, o critério de teste e comente suas conclusões.
(b) Para o teste acima, o p-valor seria maior ou menor que ? Explique.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probest. Vamos analisar as informações do enunciado. Temos uma variável aleatória que mede a composição de cobre em uma peça. E temos que
E temos que uma amostra aleatória de peças são escolhidas. E dela observamos que média amostral de e desvio padrão amostral de
Vamos fazer a letra
Passo 2
Ao nível de de significância, pode-se dizer que o processo está sob controle? Especifique formalmente as hipóteses, o critério de teste e comente suas conclusões.
O que seria o processo estar sob controle? Seria a média de cobre presente nas peças será igual a . Logo a nossa hipótese é:
E a hipótese alternativa
Como não sabemos a variância de , mas sabemos sua média. Temos que sob a hipótese , como . Então
Isto é, ao subtraímos a média e dividirmos pelo desvio padrão AMOSTRAL a distribuição que obtemos é a distribuição com graus de liberdade.
Dessa forma, fixando nível de significância em () Temos:
Logo temos que
Logo olhando a tabela , o valor de tal que , é
Logo rejeitamos se .
No nosso caso, como média amostral de e desvio padrão amostral de Temos
Logo, como Rejeitamos a hipótese ao nóvel de de significância. Há evidências de
que o processo não esteja sob controle.
Passo 3
Letra Para o teste acima, o p-valor seria maior ou menor que ? Explique.
Como rejeitamos , o p-valor, nesse caso, é menor que . p-valores pequenos levam à rejeição de , pois correspondem à áreas que são menores que o nível de significância devido ao fato de a estatística de teste observada pertencer à região de rejeição (região crítica), ou seja, devido ao fato de a estatística de teste ter caído mais na cauda da distribuição.
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
Desenvolvimento Acima