Suponha que deseja-se estimar a proporção p de indivíduos que votam em um determinado candidato em uma eleição. Uma amostra de 300 pessoas foi obtida, e, destas pessoas, 100 disseram votar no tal candidato.

Obtenha:

(a) O máximo Erro Quadrático Médio ( E Q M ) que pode ser obtido para o estimador   p ̄   = Y / n

da proporção de votos no candidato em questão, em que Y ́é o número de votos favoráveis ao candidato na amostra, e n é o tamanho da amostra.

(b) O intervalo de confiança conservativo para p , com coeficiente de confiança de 95 % .

(c) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades com probabilidade de 90 %

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probest.

Temos uma amostra de 300 pessoas onde 100 delas votaram no candidato x . Queremos estimar p , a proporção de indivíduos que votaram em x .

Vamos começar pela letra a ) Queremos o MÁXIMO EQM para o estimador   p ̄   = Y / n

d em que Y ́é o número de votos favoráveis ao candidato na amostra, e n é o tamanho da amostra.

Bem, a probabilidade de uma pessoa votar em x é uma bernoulli com parâmetro p . Sendo assim, a soma dos votos favoráveis ao candidato ( Y ) é uma distribuição binomial, com parâmetros n , p

Dessa forma, temos que

E Q M ( p ̄ ) = V a r ( p ̄ ) + V i e s 2 ( p ̄ )

Como p ̄ é uma média amostral, ele terá viés nulo. Logo:

E Q M ( p ̄ ) = V a r ( p ̄ ) + V i e s 2 ( p ̄ )

= V a r ( p ̄ )

= V a r ( Y \ n )

Como Y ∼ B i n ( n , p )   ⇒ V a r ( Y ) = n p ( 1 - p )

Dessa forma, como n = 300

E Q M ( p ̄ ) = p ( 1 - p ) 300

Mas queremos o máximo EQM possível. Para qual p ele é o máximo? Bem como o numerador representa uma parábola para baixo, o seu máximo irá ocorrer em

p = 1 / 2

Logo

M a x ( E Q M ( p ̄ ) ) = 1 / 4 300

= 1 1200

Passo 2

Agora podemos fazer a letra b ) . O intervalo de confiança conservativo para p , com coeficiente de confiança de 95 % .

Como encontramos o intervalo de confiança? Existe uma fórmula para isso. Lembram dela?

Temos que:

I C 95 % = [ x ̄   - z 95 % σ / n ,   x ̄   + z 95 % σ / n ]

Onde σ é a estimativa do desvio padrão do parâmetro que queremos estimar e z 1 - a / 2 é o quantil 1 - a / 2 da normal padrão

No nosso caso,

x ̄ = p ̄ = 100 300

= 1 / 3

E como queremos um intervalo consevador, vamos pegar a cota superio para a variância de p ̄ que vimos na letra a ) que é

σ = 1 4 n  

= 1 1200

E consultando a tabela z temos que.

z 95 % = 1.96

Logo

I C 95 % = [ x ̄   - z 95 % σ / n ,   x ̄   + z 95 % �� / n ]

= [ 1 3 - 1.96 * 1 1200 ; 1 3 + 1.96 * 1 1200 ]

Que é aproximadamente

= [ 0 ,   27 ;   0 ,   39 ]

Passo 3

Para finalizar, vamos para a letra c ) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades com probabilidade de 90 % .

Bem aqui queremos calcular a seguinte probabilidade

P ( | p ̄ - p | ≤ 0.02 ) ≥ 90 %

Como fazemos essa questão? Ora, vamos começar manipulando dentro da probabilidade

P ( | p ̄ - p | ≤ 0.02 ) ≥ 90 %

⇒ P ( - 0.02 ≤ p ̄ - p ≤ 0.02 ) ≥ 90 %

Agora, vamos dividir pelo nosso desvio padrão. Que calculamos e vimos que era

1 / 4 n

⇒ P ( - 0.02 / 1 / 4 n ≤ p ̄ - p 1 / 4 n ≤ 0.02 / 1 / 4 n ) ≥ 90 %

Agora, para n suficientemente grande, pelo TCL temos que

p ̄ - p 1 / 4 n ∼ N ( 0,1 )

Então, queremos

P ( - 0.02 / 1 / 4 n ≤ Z ≤ 0.02 / 1 / 4 n ) ≥ 90 %

Pela simetria da distribuição normal

⇒ P ( 0 ≤ Z ≤ 0.02 / 1 / 4 n ) ≥ 45 %

P ( Z ≤ 0.02 / 1 / 4 n ) ≥ 95 %

Usando a tabela z vemos que a normal tem mais que 95 % de probabilidade para valores maiores que 1.65 . Logo

P ( Z ≤ 0.02 / 1 / 4 n ) ≥ 95 %

⇒ 0.02 / 1 / 4 n ≥ 1.65

⇒ n   ≥   1701 ,   56

Como n é um número inteiro, temos que

n   ≥   1702

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

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