UFRJ; Sem campus; Probest; P2; 2022.2; Questão 3
Suponha que deseja-se estimar a proporção de indivíduos que votam em um determinado candidato em uma eleição. Uma amostra de pessoas foi obtida, e, destas pessoas, disseram votar no tal candidato.
Obtenha:
(a) O máximo Erro Quadrático Médio () que pode ser obtido para o estimador
da proporção de votos no candidato em questão, em que ́é o número de votos favoráveis ao candidato na amostra, e é o tamanho da amostra.
(b) O intervalo de confiança conservativo para , com coeficiente de confiança de .
(c) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a unidades com probabilidade de
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probest.
Temos uma amostra de pessoas onde delas votaram no candidato . Queremos estimar , a proporção de indivíduos que votaram em .
Vamos começar pela letra Queremos o MÁXIMO EQM para o estimador
d em que ́é o número de votos favoráveis ao candidato na amostra, e é o tamanho da amostra.
Bem, a probabilidade de uma pessoa votar em é uma bernoulli com parâmetro . Sendo assim, a soma dos votos favoráveis ao candidato () é uma distribuição binomial, com parâmetros
Dessa forma, temos que
Como é uma média amostral, ele terá viés nulo. Logo:
Como
Dessa forma, como
Mas queremos o máximo EQM possível. Para qual ele é o máximo? Bem como o numerador representa uma parábola para baixo, o seu máximo irá ocorrer em
Logo
Passo 2
Agora podemos fazer a letra . O intervalo de confiança conservativo para , com coeficiente de confiança de .
Como encontramos o intervalo de confiança? Existe uma fórmula para isso. Lembram dela?
Temos que:
Onde é a estimativa do desvio padrão do parâmetro que queremos estimar e é o quantil da normal padrão
No nosso caso,
E como queremos um intervalo consevador, vamos pegar a cota superio para a variância de que vimos na letra que é
E consultando a tabela temos que.
Logo
Que é aproximadamente
Passo 3
Para finalizar, vamos para a letra O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a unidades com probabilidade de .
Bem aqui queremos calcular a seguinte probabilidade
Como fazemos essa questão? Ora, vamos começar manipulando dentro da probabilidade
Agora, vamos dividir pelo nosso desvio padrão. Que calculamos e vimos que era
Agora, para suficientemente grande, pelo TCL temos que
Então, queremos
Pela simetria da distribuição normal
Usando a tabela vemos que a normal tem mais que de probabilidade para valores maiores que . Logo
Como é um número inteiro, temos que
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
Desenvolvimento Acima