UFPE, Sem Campus, Estatística, 1°EE - 2018.1, Questão 2
De um grupo de calouros, alunos do segundo ano, alunos do terceiro ano e formandos, forma-se aleatoriamente um comitê de pessoas. Determine a probabilidade de que o comitê seja formado por:
a) (dois) alunos do segundo ano e (dois) alunos do terceiro ano;
b) apenas alunos do segundo ou terceiro ano;
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo na paz?
Nessa questão temos grupos diferentes (calouros, alunos do segundo ano, alunos do terceiro ano e formandos), precisamos selecionar um pouquinho de cada lugar pra formar um comitê.
No item a), esse comitê é formado por alunos do segundo ano e do terceiro ano.
Já no item b), o comitê deverá ser formado apenas por alunos do segundo ou do terceiro ano (podendo ter diferentes proporções: do segundo ano, do terceiro, por exemplo).
Basicamente, precisamos calcular a probabilidade das composições pedidas no item a) e b) ocorrerem.
Vocês têm alguma ideia?
Podemos sempre partir para a definição de probabilidade:
Assim, vamos inicialmente calcular o número total de comitês que podem ser formados, e depois calculamos os casos favoráveis para os itens a) e b). Tranquilo?
Vamo nessa!
Passo 2
Então pessoal, primeiro vamos calcular o número de casos totais.
Queremos formar um comitê de pessoas, retirando de grupos diferentes.
São:
- calouros;
- alunos do segundo ano;
- alunos do terceiro ano;
- formandos.
Como agora estamos falando de casos totais não importa muito se certa pessoa é de um grupo ou de outro. O que importa mesmo é que no total temos:
alunos
Assim, dentre pessoas queremos escolher .
Pra primeira pessoa escolhida pra integrar o comitê, temos possibilidades.
Pra segunda pessoa, temos possibilidades.
Seguindo o mesmo raciocínio, para as vagas do comitê teremos:
Porém, como a ordem dentro do comitê não importa (o que vale apenas é quem está compondo ele), temos:
Show!
Passo 3
Vamos agora calcular o número de casos favoráveis para o item a).
Aqui, queremos que o comitê seja formado por alunos do ano e alunos do ano.
Vamos então escolher os alunos do ano que vão integrar a comissão, e depois escolhemos os alunos do ano. Por fim, basta multiplicar essas quantidades de casos.
Temos, no total, alunos no segundo ano. Assim, se queremos escolher apenas (de modo que a ordem não importa), basta fazer uma combinação. Ou seja:
Logo, temos casos possíveis para escolher dois alunos do ano.
Para o ano, como também se trata de um grupo de alunos dos quais escolheremos , utilizando a mesma combinação teremos também casos possíveis.
Portanto, o número de casos favoráveis para a composição pedida nesse item, vale:
Mas, aqui tem um detalhe que muitas vezes passa despercebido. Quando multiplicamos o número de casos desses dois conjuntos, é como se estivéssemos considerando que a ordem entre os dois grupos importa. Mas, para a comissão, tanto faz se escolhemos primeiro os alunos do ano ou primeiro os do ano.
Assim, precisamos dividir o produto por .
Perfeito! Usando a definição de probabilidade:
E, que pelo passo , o número de casos totais vale:
Temos:
Abrindo os fatoriais:
Fazendo algumas simplificações:
Portanto, para o item a), temos:
Passo 4
Agora vamos calcular o número de casos favoráveis para o item b). Aqui, queremos que o comitê seja formado apenas por alunos do segundo ou terceiro ano.
É bem parecido com o cálculo dos casos totais, é como se agora tivéssemos um grupão englobando os alunos do e ano. Para formar a nossa comissão, vamos apenas retirar alunos desse grupão. Sacaram?
Então olha, nesse grupão temos do ano e do ano) alunos. Dentro desses queremos escolher , de modo que a ordem não importa. Ou seja, mais uma combinação. Logo:
Logo, existem composições possíveis para o comitê escolhendo apenas alunos do ou ano.
Daí, usando novamente a ideia da definição de probabilidade temos:
Teremos:
Simplificando:
Portanto:
Com isso finalizamos mais uma questãozinha!
Valeu pessoal, até a próxima 😊
Resposta
a) ou
b) ou