UFPE, Sem Campus, Estatística, 1°EE - 2018.1, Questão 3
Dois times de vôlei feminino: Osasco e SESI disputam a final da Superliga de Vôlei Feminino numa série de até jogos (Será campeão o time que ganhar jogos). Se a probabilidade de vitória é a mesma para as duas equipes, determine a probabilidade de:
a) O campeão sair em até seis jogos.
b) O campeão sair em seis jogos, se o time Osasco venceu os dois primeiros jogos.
Passo 1
Eaí povo bonito, tudo bem com vocês?
Para os amantes do vôlei essa questão é bem interessante!! Basicamente, dois times (Osasco e SESI), disputam a final do campeonato. Ambos possuem igual probabilidade de ganhar uma partida e quem ganhar jogos será o campeão.
No item a) precisamos calcular a probabilidade do campeão sair em até seis jogos. Tudo beleza até aqui?
Então, uma estratégia legal pra pensar aqui é que se o campeão pode sair em até seis jogos, é porque ele pode sair em , ou . Apenas não pode sair no sétimo jogo.
Ou seja:
Po, mas calcular probabilidades diferentes vai dar um trabalhão. Então, podemos usar aquele raciocínio de “todos menos ruins” (que é super importante ter em mente, tá galera?!).
O único caso que não pode ocorrer é o campeão sair no sétimo jogo, então podemos dizer que:
Olha que top! Agora precisamos calcular apenas uma probabilidade pra matar esse item!
Bora lá! Calculamos e depois descobrimos .
Passo 2
Massa! Precisamos calcular , ou seja, a probabilidade do campeão sair no sétimo jogo. Mas, como fazemos isso?
Tem uma sacada legal! Se o campeão sair no sétimo jogo, é porque após o sexto jogo nenhuma das duas equipes conseguiu vitórias. A única forma disso ocorrer é se após o sexto jogo o placar estiver:
Osasco x SESI
Assim, calcular é o mesmo que calcular a probabilidade de após 6 jogos, termos o Osasco com vitórias (“sucesso”) e o SESI com vitórias também (“fracasso”). Pegaram a ideia?
Se estamos falando de um experimento realizado repetidas vezes nas quais pode ocorrer apenas “sucesso” ou “fracasso”, estamos falando de distribuição binomial. Lembra que, por essa distribuição:
é o número de experimentos realizados, aqui é o número de jogos, logo .
é o número de vezes que ocorreu sucesso no experimento (Osasco vencer), ou seja, .
é a probabilidade de ocorrer sucesso, como ambos os times possuem a mesma probabilidade de vencer, .
Tranquilo?! Então bora substituir na fórmula e calcular .
Logo:
Perfeito! Usando agora que:
Temos:
Portanto:
Excelente! Já matamos o item a).
Passo 3
Agora vamos para o item b). Aqui precisamos calcular a probabilidade do vencedor sair em jogos se o Osasco venceu os dois primeiros.
Bom, vamos analisar nossas possibilidades.
SESI Campeão:
Para, nessa situação, o SESI ainda conseguir se sagrar campeão no jogo, é necessário que ele vença os jogos seguintes. Assim, a probabilidade do SESI ser campeão é a probabilidade de em jogos, apenas o SESI ganhar.
Novamente, usando a distribuição binomial e considerando agora que “sucesso” é a vitória do SESI, temos:
, pois esse é o número de jogos;
, pois é o número de vezes que ocorre sucesso (vitória do SESI);
, pois ambos os times possuem a mesma probabilidade de ganhar.
Logo, substituindo em:
Temos:
Portanto:
Massa! Vamos para a outra possiblidade.
Passo 4
A segunda possibilidade é o Osasco sagrar-se campeão no jogo. Assim:
Osasco Campeão:
Pensa comigo, se o Osasco já ganhou dois jogos, para ele ser campeão precisa apenas ganhar mais dois. Porém, ainda faltam jogos a ser disputados e queremos que o Osasco seja campeão apenas no sexto jogo.
Uma forma de amarrar essas condições é dizer que, nos próximos jogos teremos duas vitórias do SESI e apenas uma vitória do Osasco. Dessa forma, após o jogo o placar estará:
Massa! Podemos calcular a probabilidade disso acontecer usando a distribuição binomial de forma parecida com o caso . É isso então? terminou?
Nãooo, fazendo isso garantimos apenas que haverá um jogo, mas precisamos que o Osasco ganhe o jogo para ser campeão. Assim, multiplicamos o resultado dessa probabilidade por (probabilidade do Osasco ganhar uma partida). Sacaram a ideia? Bora lá!
Se em jogos, o SESI vence e o Osasco apenas um, temos:
quantidade de jogos;
quantidade de sucessos (vitória do SESI);
probabilidade de ocorrer sucesso.
Assim:
Logo:
Mas, como comentamos, ainda precisamos amarrar que o jogo será vencido pelo Osasco. Por isso, multiplicamos esse resultado por . Assim:
Perfeito!
Pra finalizar, lembra que o que realmente queremos é a probabilidade do campeão sair no sexto jogo. Ou seja, é a união dos dois casos que analisamos:
Portanto:
Prontinho gente! Matamos mais uma questão.
Curtiram? Responde Aí!
Resposta
a) ou
b) ou