UFPE, Sem Campus, Estatística, 1°EE - 2018.2, Questão 1
Em uma linha de produção de uma fábrica, três peças fabricadas serão sorteadas sequencialmente, sem reposição e inspecionadas. Cada peça será classificada como defeituosa (D) ou não defeituosa (N).
a) Descreva o espaço amostral associado a este experimento.
b) Qual a probabilidade de obtermos mais que das peças defeituosas?
c) Se sortearmos sequencialmente um número par de peças, em quantos resultados podemos obter pelo menos as primeiras peças defeituosas?
Passo 1
Fala aí galera, tudo bem?
Nessa questão, basicamente temos uma fábrica que produz peças de dois tipos: defeituosas (D) e não defeituosas (N).
Iremos sortear peças, sem reposição e analisar cada uma delas para saber se apresenta defeito ou não.
A partir disso, precisaremos descrever o espaço amostral desse processo de sortear peças e analisar de que tipo são.
Nos itens seguintes, também precisaremos ser capazes de determinar a probabilidade para uma certa combinação de peças do tipo D e N no sorteio.
Beleza?
Bom, vamos inicialmente descrever o espaço amostral, e a partir dele usamos a definição e probabilidade para responder os itens seguintes.
Passo 2
Começando pelo espaço amostral, iremos sortear peças e existem algumas combinações possíveis entre peças do tipo e .
O espaço amostral é justamente o conjunto de todos os pontos amostrais, ou seja, o conjunto de todas essas possíveis combinações entre D e N, obtidas pelo sorteio.
Assim, temos:
Importante a gente ficar ligado que aqui a ordem importa, pois as peças são retiradas sem reposição. Assim, o espaço amostral será:
Show?!
Passo 3
Agora precisamos calcular a probabilidade de obtermos mais de das peças defeituosas.
Bom, dado que sorteamos peças, se mais da metade estará defeituosa, estamos falando dos casos:
Ou seja, dentre os possíveis casos do espaço amostral, satisfazem a nossa condição. Então, pela definição de probabilidade:
Temos:
Ou seja, temos uma probabilidade de .
Tudo indo bem??
Passo 4
Por fim, no item c) iremos sortear peças e queremos saber a probabilidade de pelo menos as primeiras serem defeituosas.
Para fazer isso, podemos usar novamente a definição de probabilidade:
Pensa comigo, pra cada peça que é sorteada existe duas possibilidades: N ou D.
Assim, cada peça sorteada dobra o número de casos totais.
Como temos peças no total, vale:
Já para os casos favoráveis, as primeiras peças precisam ser defeituosas (então o seu tipo já está amarrado). Mas, as peças seguintes podem ser de qualquer tipo. Logo:
Perfeito! Logo:
E é isso gente! Matamos mais uma questão.
Espero que vocês tenham entendido bem, obrigado pela atenção 😊
Resposta
a)
b)
c)