3) A figura abaixo representa um dispositivo robótico movendo-se num plano vertical, com aceleração da gravidade . Na extremidade A da coluna fixa há um pequeno motor elétrico que aplica um momento (anti-horário) na extremidade A do braço AB, fazendo este braço girar em torno de A com velocidade angular e aceleração angular , dados. Na extremidade B do braço AB há outro pequeno motor, que aplicar o momento (anti-horário) no braço BC, fazendo-o girar com velocidade angular e aceleração angular A massa do braço AB é , a do braço BC é e ambos podem ser considerados como hastes delgadas homogêneas.

Para a posição indicada na figura, e usando o sistema de eixos indicados, pede-se:

a) Desenhar os diagramas de corpo livre dos braços AB e BC;

b) Escrever as equações do teorema da resultante (TR) e do Teorema da quantidade de movimento angular (TQMA) para o braço BC;

Supondo que o motor em B trave a conexão dos braços AB e BC na posição relativa mostrada, pede-se:

c) obter as expressões de e em função de , das massas e das dimensões dadas na figura;

d) Determinar o momento exercido pelo braço AB sobre o braço BC.

b) Nesse item precisamos escrever tanto as equações do teorema da resultante (TR), como do teorema da quantidade de movimento angular (TQMA) para o braço BC.

Começando pelo teorema da resultante, no caso geral, ele diz o seguinte:

Daí, quando a massa é constante, ela pode ser tirada da derivada, e ficamos com:

Beleza, então vamos escrever essa equação vetorial, observando sempre o DCL da barra BC.

Boa! Já matamos uma parte do item.

Indo agora para o TQMA, ele fala que:

No caso da nossa barra BC, temos que o momento angular em vale:

Logo:

Já quando ao momento em , temos:

Juntando tudo, temos que:

Prontinho pessoal, é isso aí!

c) Precisamos calcular e em função dos dados.

Aqui tivemos uma suposição bem interessante que restringiu mais a cara desse problema. Segundo o enunciado, devemos agora considerar que as barras AB e BC estão travadas na posição mostrada na figura.

Beleza, mas e aí né? O que isso muda no que já fizemos até agora?

A ideia é que, se AB e BC estão travadas é porque elas estão girando sempre juntas. Ou seja:

Massa! Para encontrar podemos usar o ponto A como referência, daí:

Como A é um ponto fixo, e usando as dimensões do enunciado, temos que:

Lembrando que e são dados. Portanto, já determinamos também . Falta apenas .

E a ideia aqui é usar um raciocínio semelhante, vamos determinar usando A como referência, e depois usando B como referência. Daí:

Ficamos com:

Perfeito, temos então para :

Muito bomm! Esses produtos vetoriais enchem o papel de conta, mas são bem úteis né?!

Bora lá pessoal, última item dessa questãozinha! Hora do gás final pra aprendermos a última ideia.

d) Precisamos calcular quanto que vale o momento , pois ele é justamente o momento que o braço AB exerce sobre o braço BC, como pudemos verificar no DCL.

Daí, se usarmos a nossa TR do item b, temos que:

Mas usando o resultado encontrado no item c, temos que o mesmo vale:

Igualando as duas equações, vem que:

Agora que já temos o valor de , podemos ir na nossa equação do TQMA do item b. Vamos ter que:

Logo, substituindo e isolando o , vem:

Por fim:

Ufaaa! Conseguimos terminar mais uma! Questão bem interessante com uso do TR e do TQMA, vale a pena guardar as ideias! Obrigado pela atenção pessoal, tmj!