Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Encontre o maior δ > 0 tal que 1 x - 1 < 1 10 , para todo x ∈ R com x - 1 < δ

a) 19 81

b) 100 81  

c) 21 121

d)N.A

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa inequação aqui

1 x - 1 < 1 10

E pediu para encontrarmos o maior valor de δ > 0 para que x - 1 < δ . Mas como resolver isso?

Precisamos primeiro encontrar qual intervalo de x estamos trabalhando! Depois disso, vamos verificar qual valor mais se adequa para termos

x - 1 < δ

Beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Podemos abrir nosso módulo em duas desigualdades

1 x - 1 < 1 10

- 1 10 < 1 x - 1 < 1 10

E resolver

- 1 10 + 1 < 1 x < 1 10 + 1

Do lado esquerdo temos

1 x > 9 10

Aí temos que

x < 10 9 ,   c o m   x > 0

E aí

x < 100 81

Assim nosso intervalo da esquerda fica

0 < x < 100 81

Beleza?

Agora vamos fazer algo similar para o lado direito

1 x - 1 < 1 10

1 x < 11 10

Aí temos

x > 100 121

E por fim vamos unir nossos intervalos

100 121 < x < 100 81

tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos verificar qual é o maior valor possível de δ para que

x - 1 < δ

Como queremos o maior valor de δ precisamos verificar qual é o menor valor de x ! Assim nosso intervalo é

100 121 < x < 100 81

E assim

δ = 100 121 - 1 = 21 121

Alternativa (c)

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( c )  

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Prove que todo subconjunto do R 2 com um número finito de pontos tem conteúdo nulo.
Prove que o conjunto vazio tem conteúdo nulo.
Sejam AeB subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.