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Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 2° Teste - 2018.1, Questão 1a

Considere v → = ( 2 ,   0 ,   1 ) , A = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

a) Determine um vetor u → paralelo a v → de comprimento igual a 10 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um vetor v → , dois pontos A e B e pediu pra gente determinar um vetor u → paralelo a v → . Vamos lembrar que pra um vetor ser paralelo a outro ele precisa ser escrito na forma:

u → = α v →

Ou seja, eles precisam ser proporcionais. Então, como a gente faz pra descobrir esse vetor u → ?

Bom, nós já sabemos que ele tem módulo igual a 10 , de acordo com o enunciado. Então vamos substituir o vetor u → na equação e usar o valor do módulo para encontrar α e, em seguida, as componentes de u → .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos definir u → = ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 ) . Assim, temos:

u → = α v →

u 1 ,   u 2 ,   u 3 = α v →

O enunciado nos deu v → = ( 2 ,   0 ,   1 ) . Logo,

  u 1 ,   u 2 ,   u 3 = α ( 2 ,   0 ,   1 )

Dessa forma, podemos escrever:

u 1 = 2 α

u 2 = 0

u 3 = α

Dessa forma, temos apenas o valor da componente u 2 , e as componentes u 1 e u 3 definidas em função de α . Mas quem é α ?

Bom, nós sabemos que o módulo de u → é igual a 10 , ou seja:

u → = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = 10  

Substituindo os valores, temos:

2 α 2 + 0 2 + α 2 = 10  

5 α 2 = 10  

α 5 = 10

Isolando α :

α = 10 5 = 10 5 5 = 2 5

Como u 1 = 2 α , u 2 = 0 e u 3 = α , encontramos nosso vetor u → :

u → = ( 2 2 5 ,   0 ,   2 5 )

u → = ( 4 5 ,   0 ,   2 5 )

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

u → = ( 4 5 ,   0 ,   2 5 )

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