UTFPR, Sem Campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 2° Teste - 2018.1, Questão 1c
Considere , e .
c) O conjunto } é ou ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um vetor , dois pontos e e pediu pra gente determinar se o conjunto } é ou . Bom, pra gente saber se um conjunto de vetores é linearmente dependente () ou linearmente independente (), é só ver se um desses vetores é combinação linear do outro, lembra?
Pra gente escrever os vetores como combinação linear, precisamos fazer:
Mas antes precisamos encontrar o vetor . Em seguida, verificamos o valor dos coeficientes e , se todos os coeficientes forem iguais a zero, o conjunto é . Caso contrário, conseguimos escrever um vetor como combinação linear do outro e o conjunto é .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor :
Substituindo os pontos e , temos:
Agora vamos tentar escrever o conjunto como combinação linear:
A partir daí, temos o sistema:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na terceira equação:
Logo, só existe um único jeito de gerar o vetor nulo, que é com e e essa é a solução. Dessa forma, podemos dizer que o conjunto } é .
Valeu, galera. Até a próxima! 😉