Passo 1
A equação do plano é
E da reta normal é
Onde esse é o gradiente da superfície que é gráfico de , calculado no ponto de tangencia.
No nosso caso, que
Acontece que não sabemos a expressão de pra poder calcular o gradiente de e e aí ter o ponto de tangencia.
Mas, sabemos que o gráfico de está contido na superfície
E sabemos que .
Então, podemos isolar o na expressão acima e escrevê-lo em função de :
Passo 2
Agora vamos calcular :
Como sabemos que , podemos calcular essas derivadas parciais que faltam:
Assim:
Substituindo no ponto :
Passo 3
Agora falta calcularmos o ponto .
Então
Racionalizando:
Assim:
Passo 4
Assim, o plano tangente é
Passo 5
E a reta normal é
Passo 6
Esse passo é só um obs.
Repara que se multiplicássemos o por , ficaríamos com
Ou seja, a gente ia deixar o vetor gradiente “mais bonitinho” e não alteraríamos a direção dele, apenas o módulo, pois só teríamos multiplicado o vetor por um escalar .
E aí a gente teria a resposta igual da lista.
Mas a resposta que achamos aqui também está certa!!
Então, se você pensou como eu na hora de fazer a questão, você acertou.
E se você teve a sacada de multiplicar por pra deixar o vetor mais bonito e não ficar trabalhando com tantas frações e , você também acertou!
Todo mundo acertou, uhul
Resposta
