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Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

Considere as equações

x u + y v + z w = 1

x + y + z + u + v + w = 0

x y + z u v + w = 0

Suponha que x , y , z são funções diferenciáveis de u , v e w que estão implícitas nas equações acima. Determine ∂ x ∂ w , ∂ y ∂ w e ∂ z ∂ w derivando implicitamente as equações acima com respeito a w .

Passo 1

Vamos lá, como o problema mesmo diz, vamos derivar implicitamente as equações acima com respeito a w , considerando que x , y , z são funções de w :

∂ x ∂ w u + ∂ y ∂ w v + ∂ z ∂ w w + z = 0

∂ x ∂ w + ∂ y ∂ w + ∂ z ∂ w + 1 = 0

∂ x ∂ w y + ∂ y ∂ w x + ∂ z ∂ w u v + 1 = 0

Temos um sistema com 3 equações e 3 incognitas.

Passo 2

Resolvendo o sistema:

Isolando ∂ x ∂ w   na primeira equação:

∂ x ∂ w = - ∂ y ∂ w v - ∂ z ∂ w w - z u

Substituindo na segunda equação e isolando ∂ y ∂ w :

∂ y ∂ w = - ∂ z ∂ w u - w + z - u u - v

Assim:

∂ x ∂ w = - ∂ y ∂ w v - ∂ z ∂ w w - z u = - - ∂ z ∂ w u - w + z - u u - v v - ∂ z ∂ w w - z u = ∂ z ∂ w v - w - z - v

Substituindo tudo isso na terceira equação:

∂ z ∂ w v - w - z - v y + - ∂ z ∂ w u - w + z - u u - v x + ∂ z ∂ w u v + 1 = 0

Passo 3

E, fazendo milhões de contas, chegamos em:

∂ z ∂ w = z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2  

∂ y ∂ w = - z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 u - w + z - u u - v

∂ x ∂ w = z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 v - z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 w - z u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)