UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 2a.
Considere
É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função , com numa vizinhança de e numa vizinhança de , quando ?
Passo 1
Opa, o que temos que fazer aqui é verificar as hipóteses do Teorema da Função Implicita.
Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor e quem é o vetor .
Como ele quer em função de
O resto vai ser do vetor
Assim também temos e
Vamos identificar também nosso :
Passo 2
Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?
Beleza, ele serve porque !
Passo 3
Para vermos se a equação define implicitamente como uma função de , precisamos achar primeiro . Ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a porque é
Passo 4
Agora temos que ver se no ponto
Ihh, o determinante de deu zero. E agora?!
Relaxa, isso significa que pode ou não ser inversível. Assim, nada se pode afirmar sobre a possibilidade da equação definir uma função .
Resposta
Não podemos afirmar nada.