Teorema da Função Implícita
Explique cuidadosamente porque a equação definie como função de em uma vizinhança do ponto . Determine a equação do plano tangente ao gráfico desta função naquele ponto.
Passo 1
Vamos começar vendo se essa equação define como função de . Para isso temos que começar identificando quem é e quem é , lembra disso como vimos na teoria? é a função e é em função de quem ela está definida. Desse jeito temos
E
Além disso, vamos ter
E temos aqui o , o e a nossa função , vamos começar verificando se o ponto está nessa função
Beleza esse ponto está na .
Passo 2
Para vermos se podemos definir a função em função de devemos achar , que vai ser
Ele quer essa função no ponto , vamos ver quanto vai ser essa parada
Como é diferente de , pelo teorema da função implícita garantimos que pode ser escrito em função de
Passo 3
Vamos ao plano tangente agora. Já vimos que queremos o plano tangente a seguinte função
Então vamos definir
E a equação do plano tangente vai ser
Onde o vetor normal via ser
Temos então que achar o gradiente de
Passo 4
Vamos nesse passo achar o vetor normal e depois substituir ali.
Temos
Vamos começar achando , e , lembrando que
Aqui temos que
Lembrando que
Repara que temos que achar as derivadas de em função de e . O teorema da função implícita nos garante que pode ser escrito como função de e o valor das derivadas de em função de e de .
Passo 5
Vamos agora achar essa derivada, ou seja,
Temos falta achar , vamos a essa conta então
Então
Vamos agora fazer a conta no ponto
E a nossa derivada vai ser
Assim
E
Beleza agora temos todas as derivadas que precisávamos
Passo 6
Vamos voltar ao vetor normal agora, lembrando que
E
E acabamos de ver que
E o nosso vetor normal vai ser
Vamos ao plano tangente agora
Então
Resposta
Plano Tangente