Se e são dadas implicitamente pelo sistema:
Mostre que:
Passo 1
Para mostrarmos isso que ele pediu temos que achar , e para achar ele vamos usar o teorema da função implícita.
A primeira coisa a fazer é determinar o vetor e o vetor . O vetor vai ser aquele que você está em função, neste caso:
E é o resto
Vamos ter:
Repara que eu joguei tudo pra esquerda nas duas equações, assim vamos ter que em qualquer ponto. Então podemos continuar. Definido tudo que precisamos, vamos as contas!
Passo 2
O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer e ver se ela é diferente de no ponto que ele deu.
Não precisamos verificar que ele é definido implicitamente, isso porque ele já disse que é no enunciado!
Passo 3
b) Para achar a derivada, temos que achar agora :
Passo 4
Vamos ter agora:
Como multiplicar pela matriz identidade resulta nela mesma:
E logo, usando álgebra linear vamos ter que:
Lembrando que:
O que nos interessa é:
Passo 5
Substituindo na equação que ele pediu vamos ter:
E realmente vamos ter aquela afirmação que ele deu.
Resposta
Prova por demonstração