É possível “resolver” o sistema de equações
Para e próximo de ?
Calcule em .
Passo 1
O que ele quer saber é se esse sistema de equações define e como funções de nas vizinhanças de ..
Vamos usar o teorema da função implícita. Então
Passo 2
Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve ao sistema de equações
Beleza, ele serve porque !
Passo 3
Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a porque é
Passo 4
Agora temos que ver se no ponto
Beleza, deu diferente de zero, então essa matriz é inversivel e é possível resolver o sistema para e próximo de
Passo 5
Agora, pra calcular a derivada, como ele só quer , vamos usar a derivação implícita pra facilitar as nossas vidas!
Se fossemos usar o teorema inteiro, a gente ia calcular essa derivada também, mas além dela calcularíamos as derivadas de e em relação não só a , mas também a e . Ou seja, varias trabalhos desnecessários.
Com a derivação implícita, a gente deriva cada equação em relação a considerando que e são funções de :
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas .
Se isolarmos na primeira equação e substituirmos na segunda, depois de resolver essas contas gigantes e substituir o ponto , encontraremos