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Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

  1. Dada a relação

cos ⁡ ( x z ) = x y x

Podemos considerar a função y x , z . Encontre ∂ y / ∂ x 1,0 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos encontrar a derivada de y em relação a x no ponto 1,0 .

Temos a seguinte função,

cos ⁡ ( x z ) = x y x

Repara que y não está isolado! Então vamos ter que fazer uma derivação implícita.

Bora lá!

Passo 2

Para derivar implicitamente, começamos jogando tudo para um mesmo lado igualando a zero,

F x , y , z = cos ⁡ x z - x y x = 0

Depois calculamos as derivas parciais em relação a cada variável,

F x = - z sin ⁡ x z - y x - x y x ln ⁡ y

F y = 0 - x y x - 1

F z = - x sin ⁡ x z

Aplicando o Teorema da Função Implicita temos que,

∂ y ∂ x x , z = - F x F y

∂ y ∂ x x , z = - - z sin ⁡ x z - y x - x y x ln ⁡ y - x y x - 1

∂ y ∂ x x , z = - z sin ⁡ x z + y x 1 + x ln ⁡ y x y x - 1

Agora vamos achar ∂ y ∂ x 1 , 0 .

Passo 3

Substituindo 1,0 ,

∂ y ∂ x 1 , 0 = - 0 sin ⁡ 1 0 + y 1 1 + 1 ln ⁡ y 1 y 1 - 1

∂ y ∂ x 1,0 = - 0 + y 1 + ln ⁡ y 1

∂ y ∂ x 1,0 = - y 1 + ln ⁡ y

Prontinho!

Resposta

∂ y ∂ x 1,0 = - y 1 + ln ⁡ y