UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 5
Seja uma função real de classe tal que , 0. Suponha que a função real , de classe , é definida implicitamente pela equação , onde é uma constante não nula. Verifique que satisfaz a equação diferencial em derivadas parciais
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu uma função de classe (primeira derivada contínua) e que é definida implicitamente pela função
E pediu para verificarmos essa propriedade aqui
Mas como fazer isso?
Precisamos utilizar o teorema da função implícita! Ele nos diz que as derivadas parciais de em relação à e à são
Mas quem seria essa ? Seria a função que é definida de forma implícita! Então para calcular aquelas derivadas ali, precisamos da regra da cadeia!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
Considerando , a parcial em relação à fica
E em relação à :
E em relação à
Temos que
Então podemos calcular as parciais de e em relação a :
Beleza?
Passo 3
Agora vamos calcular e : pegando as definições do passo com as derivadas que achamos no passo temos:
Mas queremos essa parcial multiplicada por na demonstração:
Beleza? Agora vamos fazer de forma análoga para a derivada parcial em :
Mas queremos essa quantidade multiplicada por na demonstração
Tudo bem até aqui? Vamos guardar esses resultados das setinhas!
Estamos quase lá!
Passo 4
Agora vamos somar aqueles resultados que guardamos do passo anterior:
Podemos separar em dois o primeiro termo da direita e simplificar
Assim temos
Como (pois função de classe ), então
Como o problema queria que demonstrássemos!
Belezinha?
Até a próxima!