Teorema da função implícita
Seja , e e seja um ponto que satisfaz a equação
Onde é uma função de classe
- Indique que condições deve satisfazer a função de forma que a equação acima defina implicitamente, como função de e numa vizinhança de e mostre que
- Calcule a equação do plano tangente À superfície descrita pela equação no ponto
Onde , na vizinhança de
Passo 1
A primeira coisa a fazer é determinar o vetor e o vetor . O Vetor vai ser aquele que você está em função, neste caso
E o é o resto
Vamos ter
De cara já temos que
Então podemos continuar, a função de zero
Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.
Passo 2
O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer e ver se ela é diferente de no ponto que ele deu.
Vamos agora fazer no ponto
Para a função ser definida implicitamente devemos ter
Logo, devemos ter
Passo 3
Temos que achar as derivadas de em relação a e
Para achar a derivada temos que achar agora
Vamos agora fazer no ponto
Passo 4
Vamos ter agora
Lembrando que
Usando álgebra linear vamos ter
Lembrando que
Vamos ter
Passo 5
Vamos substituir esses valores que achamos na equação que ele pediu
Como queremos no ponto vamos ter
Substituindo os valores
Isso nos diz que essa afirmação é verdadeira.
Passo 6
Para acharmos o plano tangente basta achar o plano tangente a , isso vai ser
Lembrando que o vetor normal vai ser
Então
Substituindo vamos ter
Passo 7
O plano tangente vai ficar