17) Considere os seguintes vetores: A → = 3,4 i ^ + 4,7 j ^ , B → = - 7,7 i ^ + 3,2 j ^ , C → = 5,4 i ^ - 9,1 j ^ .

a) Encontre o vetor D → , em notação de versores, sendo D → + 2 A → - 3 C → + 4 B → = 0 .

b) Expresse o vetor D → em termos da magnitude e ângulo (em relação ao eixo + x , como de costume).

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dado três vetores

A → = 3,4 i ^ + 4,7 j ^ B → = - 7,7 i ^ + 3,2 j ^ C → = 5,4 i ^ - 9,1 j ^

E nosso objetivo é obter um vetor D → que satisfaça a equação D → + 2 A → - 3 C → + 4 B → = 0 .

Tem ideia do que fazer? 🤔

Quando multiplicamos um vetor por uma constante, estamos na verdade multiplicando cada componente do vetor por essa constante, ou seja.

2 V → = 2 V x î + V y j ^ = 2 V x î + 2 V y j ^

Já quando somamos dois vetores, estamos na verdade somando as componentes desses vetores, x com x e y com y .

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Escrevendo a equação e substituindo os vetores...

D → + 2 A → - 3 C → + 4 B → = 0

D → + 2 3,4 i ^ + 4,7 j ^ - 3 5,4 i ^ - 9,1 j ^ + 4 - 7,7 i ^ + 3,2 j ^ = 0

Multiplicando as constantes pelos vetores...

D → + 2 · 3,4 i ^ + 2 · 4,7 j ^ - 3 · 5,4 i ^ - 3 · 9,1 j ^ + - 4 · 7,7 i ^ + 4 · 3,2 j ^ = 0

D → + 6,8 i ^ + 9,4 j ^ - 16,2 i ^ - 27,3 j ^ + - 30,8 i ^ + 12,8 j ^ = 0

Isolando D → em um lado da igualdade

D → = - 6,8 i ^ + 9,4 j ^ + 16,2 i ^ - 27,3 j ^ - - 30,8 i ^ + 12,8 j ^

D → = - 6,8 i ^ - 9,4 j ^ + 16,2 i ^ - 27,3 j ^ + 30,8 i ^ - 12,8 j ^

Somando cada componente i ^ e j ^ separadamente, vamos obter

D → = - 6,8 + 16,2 + 30,8 î + - 9,4 - 27,3 - 12,8 j ^

D → = 40,2 î + - 49,5 j ^

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Escrevendo esse vetor no formato de versor, temos

D → = D → ∠ θ

Para obter o modulo de um vetor, fazemos a raiz da soma do quadrado das suas componentes, ou seja

D → = D x 2 + D y 2

D → = 40,2 2 + - 49,5 2

D → = 63,77

E para descobrir o ângulo θ podemos lembrar que a tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto sobre o cateto adjacente, ou seja

t g θ = D y D x

Calculando o arco tangente de θ , temos

θ = a r c t g D y D x

θ = a r c t g - 49,5 40,2

θ = - 50,92 °

Portanto, o versor é dado por

D → = 63,77   ∠ - 50,92 °

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) D → = 40,2 î + - 49,5 j ^

b) D → = 63,77   ∠ - 50,92 °

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