Considere um cilindro maciço condutor de raio e comprimento que é concêntrico com uma casca cilíndrica condutora de raios interno e externo e respectivamente e de comprimento também. A casca tem densidade linear de carga ao passo que o cilindro tem densidade linear de carga . Calcule a capacitância do sistema.

Enunciando a Lei de Gauss:

Basta dividir a carga interna pela constante dielétrica . Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário e comprimento arbitrário . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que os vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares à ele, de forma que:

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

E temos então a área da lateral com nossa integral:

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

Logo, temos:

Coisa mais fácil do mundo é você esquecer uma letra nessa sopa... Felizmente, apesar de dar um resultado um bocado diferente, isso não costuma acarretar numa perda grande de pontos. Continuando...

Conforme já cansamos de saber, o quanto de carga lá dentro está relacionado com a densidade, pois a distribuição de cargas é contínua. Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Logo temos:

Substituindo na expressão do campo:

Agora a parada é achar a diferença do potencial:

Onde o vai ser um caminho radial entre os dois cilindros. Resolvendo:

Como:

Então:

Substituindo tudo de volta:

Agora a parada é achar a carga do capacitor. Conectamos com a densidade, certo?

Neste momento percebemos que não vamos conseguir nos livrar do ... Isso é um fato da vida. Aqui estamos mostrando como você faria numa resolução de prova, então não teria como ver isso de antemão. Vamos ter que dar essa volta mesmo...

Enfim, terminamos!