Considere duas placas condutoras circulares de área separadas por uma distância no vácuo, cada uma com densidade de carga constante iguais à e . Suponha que a distância seja desprezível se comparada com as dimensões das placas. Calcule a capacitância desse sistema.
Passo 1
Bom, foi pedida a capacitância, então vamos colocar a sua fórmula na mesa:
Show, agora basta encontrarmos os valores de e para o sistema. Vamos começar por pois parece mais simples. Sabe-se que a densidade de carga superficial, por ser constante, é igual à:
Portanto podemos substituir:
Passo 2
Agora vamos tentar calcular a diferença de potencial entre as duas placas. A fórmula que nos dá direto a diferença de potencial (d.d.p.) é a seguinte:
Onde vai ser um caminho retilíneo entre as duas placas. No caso, como só nos importa o módulo da d.d.p. podemos ignorar esse sinal de menos na frente da integral, portanto:
Passo 3
Dado que estamos tratando de duas placas planas, podemos aproximar seu campo por o de um plano infinito. Tacando a Lei de Gauss:
Escolhemos uma gaussiana em forma de cilindro com área de sua seção reta. Como existe fluxo tanto pela tampa de cima quanto pela de baixo do cilindro, temos que o fluxo é :
Usando a fórmula da densidade mais uma vez para encontrar a carga interna à Gaussiana:
Mas ainda não obtivemos o campo entre as duas placas planas. Este é o campo de uma placa somente. O campo das duas é simplesmente o dobro:
Passo 4
Como encontramos um campo uniforme, aplicamos a integral para encontrar a diferença de potencial:
Como escolhemos um caminho retilíneo de uma placa para outra, o resultado da integral é simplesmente a distância entre as placas:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da capacitância, temos:
E acabou!