Considere uma esfera condutora maciça de raio que é concêntrica com uma casca esférica condutora de raios interno e externo e respectivamente. A esfera maciça possui carga ao passo que a casca possui carga total . Calcule a capacitância desse sistema.
Passo 1
Mesma ideia de sempre. Pediu-se a capacitância então vamos partir da sua fórmula:
Como a carga que está no capacitor foi dada como , não vamos mexer com isso. Vamos apenas nos preocupar em achar o módulo da diferença de potencial entre as esferas. O módulo da ddp é quantificado por:
Que sai da fórmula da integral:
Integrando ao longo de um caminho radial entre as esferas. Para isto precisamos do campo elétrico.
Passo 2
Enunciando a Lei de Gauss...
Pela simetria esférica do problema, escolhemos uma superfície esférica de raio arbitrário para ser nossa Gaussiana . Dessa forma, os vetores normais são paralelos ao campo em todos os pontos de , do que segue o fato:
Passo 3
Além disso, pela configuração do campo, temos que o seu módulo é constante em toda , do que segue o fato:
Da última equação, segue que a integral de em toda é a área da Gaussiana. A área superficial de uma esfera é conhecida e é igual à:
Substituindo na Lei, temos:
Passo 4
Como a carga interna à Gaussiana é a carga total da esfera maciça:
Substituímos. Além disso, sabemos que o campo é radial:
Colocando na integral, temos:
E o nosso caminho vai da superfície da esfera maciça até a superfície interna da casca esférica:
Como temos que:
Então segue que:
Pode parecer uma análise desnecessária, mas mata você na múltipla escolha.
Passo 5
Podemos arrumar um pouco mais a voltagem pra substituir na fórmula da capacitância:
Substituindo:
E voilá: