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Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Exercício 15123456789101112131416171819202122232425

Enunciado

O conjunto dos pontos equidistantes do ponto ( 0,5 , 1 ) e do plano y = 3 é composto por

  1. Um elipsoide
  2. Um plano
  3. Dois planos
  4. Um hiperboloide
  5. Um paraboloide

Passo 1

O que a questão tá dizendo pra gente é que os pontos ( x , y , z ) da nossa superfície tem a mesma distância tanto do ponto ( 0,5 , 1 ) quanto do plano y = 3 .

A distância entre dois pontos é dada por:

d 1 = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Assim, a distância entre ( x , y , z ) ao ponto ( 0,5 , 1 ) é

d 1 = x - 0 2 + y - 5 2 + z - 1 2

d 1 2 = x 2 + ( y - 5 ) 2 + ( z - 1 ) 2

A distância do ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano a x + b y + c z = - d é dada por:

d 2 = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Assim, a distância entre ( x , y , z ) ao plano y = 3 é:

d 2 = 0 + 1 . y + 0 - 3 0 2 + 1 2 + 0 2

d 2 = y - 3 2 1

d 2 = y 2 - 6 y + 9

d 2 2 = y 2 - 6 y + 9

Passo 2

Beleza, mas ai a questão disse que essas duas distâncias que a gente acabou de encontrar tem que ser iguais. Assim:

d 1 2 = d 2 2

x 2 + ( y - 5 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = y 2 - 6 y + 9

x 2 + y 2 - 10 y + 25 + z - 1 2 - y 2 + 6 y - 9 = 0

x 2 + z - 1 2 = 4 y - 16

Dividindo os dois lados por 4

x 2 4 + z - 1 2 4 = y - 4

Que é a equação de um paraboloide elíptico com centro deslocado da origem e 4 unidades para cima no eixo y .

Resposta

L e t r a   e

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