Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

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Enunciado

Dentre as figuras abaixo aquelas que associam corretamente e superfície são:

a) III e IV.

b) I e II.

c) I e III.

d) II e IV.

e) I e IV.

Passo 1

Legal, esse é um problema bem visual!

Temos que ver quais figuras a equação corresponde a superfície esboçada. Vamos olhar para a figura I com equação

x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 = - 4

Fazendo z = 0 (para achar a interseção com o plano x y ), obtemos:

x 2 - 2 y 2 = - 4 ⇒ 2 y 2 - x 2 = 4

Trata-se de uma hipérbole com eixo real na direção y . Mas note que na figura, a interseção da superfície com o plano x y é uma hipérbole com eixo real na direção x . Já podemos descartar essa figura...

Passo 2

Na figura II, temos

3 x 2 + 4 y 2 - 5 z 2 = 0

Isolando 5 z 2 :

5 z 2 = 3 x 2 + 4 y 2

Assim,

z = ± 3 x 2 + 4 y 2 5

Trata-se de um cone, o que não corresponde a figura ☹

Passo 3

Na figura III, temos

x 2 + 2 x y + y 2 = 0

Portanto,

x + y 2 = 0 ⇒ y = - x

Trata-se de um plano que corta a origem, exatamente como mostrado na figura. Guarde essa afirmativa!

Passo 4

Na figura IV, temos z = x 2 , que se trata de um cilindro parabólico. As interseções com planos são parábolas. A figura corresponde exatamente a isso 😊

Portanto, as figuras que a correspondência tá certa são III e IV. Alternativa A!

Resposta

Alternativa A.

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