USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 8
Dentre as figuras abaixo aquelas que associam corretamente e superfície são:
a) II e IV.
b) I e II.
c) I e III.
d) III e IV.
e) I e IV.
Passo 1
Legal, esse é um problema bem visual!
Temos que ver quais figuras a equação corresponde a superfície esboçada. Vamos olhar para a figura I com equação
Fazendo (para achar a interseção com o plano ), obtemos:
Trata-se de uma hipérbole com eixo real na direção . Mas note que na figura, a interseção da superfície com o plano é uma hipérbole com eixo real na direção . Já podemos descartar essa figura...
Se você não curtiu essa explicação, temos outra forma, também!
Passo 2
Se liga, a equação geral do hiperboloide é:
Aí, podemos olhar para a quantidade de sinais negativos que aparecem:
- Se tivermos 1 sinal negativo, será um hiperboloide de uma folha;
- Se tivermos 2 sinais negativos, será um hiperboloide de duas folhas.
Beleza?
Bom, nós temos:
Vamos organizar essa equação igual a forma geral e ver o que aparece. Para isso, temos que colocar igualado a , logo, vmaos dividir tudo por :
Arrumando um pouco mais:
Assim, temos a equação da mesma forma que a equação geral, certo?? Logo, podemos ver que temos apenas um sinal negativo, no . Sendo assim, essa equação representa um hiperboloide de uma folha!! Com o eixo do hiperboloide ao longo do eixo . Beleza??
Essa realmente está errada!
Passo 3
Na figura II, temos
Isolando :
Essa equação é típica de “selas”. Fazendo , obtemos hipérboles com e . Fixando , obtemos parábolas com concavidade para baixo como . Já fixando , caímos em parábolas com concavidade para cima, tipo .
Note que na figura temos exatamente essa figura da “sela”. Aqui a correspondência tá bonitinha 😊
Passo 4
Na figura III, temos
A solução para equação é . Trata-se de uma reta (o eixo ). A figura corresponde a um plano, não a uma reta ☹
Descartamos essa aqui...
Passo 5
Na figura IV, temos , que se trata de um cilindro parabólico. As interseções com planos são parábolas. A figura corresponde exatamente a isso 😊
Portanto, as figuras que a correspondência tá certa são II e IV. Alternativa A!
Resposta
Alternativa A.