Superfícies, Interseção de Superfícies, Reta Tangente e Plano Normal
Considere as duas superfícies dadas por e .
1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.
Passo 1
Vamos focar na primeira superfície, beleza?
Ela é dada por
então temos algo do tipo
portanto, essa superfície é um plano :)
Passo 2
Agora vamos ter esboçar a figura, mostrando suas interseções com os planos coordenados. Então vamos pôr a mão na massa!
Vamos zerar uma a uma as coordenadas , e e assim determinar como o nosso plano intercepta os planos , e , respectivamente. Vamos fazer um desenho e ir completando aos poucos, beleza? Então partiu!
Fazendo vamos ter a reta
e
Então, no plano , a reta passa pelos pontos e .
Passo 3
Fazendo temos a reta
e
Ou seja, a reta passa pelos pontos e .
Passo 4
Fazendo temos:
e
Então a reta passa pelos pontos e . Vamos completar de novo o desenho:
Passo 5
Então esse triângulo daí é composto pelas retas de interseção do nosso plano com os planos coordenados Ele vai ser a base do esboço do plano:
Desse ângulo dá pra ter uma visão melhor:
Passo 6
Ainda temos a outra superfície!
A equação dela é:
Isolando o fica:
Identificamos uma superfície do tipo
que nada mais é que a equação de um paraboloide!
- Os dois sinais são iguais, então a superfície é um paraboloide elíptico.
- Como , vai ser mais precisamente um paraboloide circular.
- Os sinais são positivos, então ele vai ser virado pra cima.
- O valor mínimo de e é , então o mínimo absoluto e vértice do paraboloide é no ponto .
Excelente! Já da pra ter uma boa noção da figura :D
Passo 7
Agora vamos determinar as curvas de interseção do paraboloide com os planos coordenados:
- No plano , temos
que é uma parábola voltada para cima e com mínimo em .
- No plano , a equação fica
que é exatamente a mesma parábola do item anterior, só passando do plano pro plano .
- No plano , temos
que é um círculo de raio 1 centrado em .
Passo 8
Juntando tudo, obtemos o nosso paraboloide!
Resposta
1.
