Se (1,1) e (2,1) são autovetores de A associados aos autovalores 2 e -1, respectivamente, calcule .
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
Passo 1
Queremos elevar uma matriz a um expoente real, então vamos precisar diagonalizar a matriz.
Diagonalizar significa escrever uma matriz A como o produto de 3 matrizes:
onde P é a matriz com os autovetores nas colunas e D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
O enunciado deu que (1,1) é autovetor associado a e (2,1) é autovetor associado a .
Então já podemos escrever nossas matrizes P e D:
Se calcularmos a inversa de P, vamos encontrar:
Passo 2
Então:
Para elevar A a 5, só precisamos elevar a matriz D da decomposição anterior a 5, ou seja:
Fazendo esse produto de matrizes, vamos achar:
Resposta
(b) 
Exercícios de Livros Relacionados
Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .