UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 13
Considere as afirmativas abaixo:
Se é autovalor de então é autovalor de
Se é autovetor de , então é autovetor de
(a) Ambas são falsas
(b) é verdadeira e é falsa
(c)
(d)Ambas são verdadeiras
Passo 1
Lembra como elevamos uma matriz ao quadrado?
Diagonalizamos e elevamos apenas a matriz , dos autovalores, dessa forma:
Ou seja, vamos supor que minha matriz tem essa cara:
Quando elevada ao quadrado vai ficar:
Ou seja, meus autovalores mudaram, agora são os autovalores antigos ao quadrado! Assim, minha primeira afirmativa é falsa!
Passo 2
Para analisar a segunda afirmativa, vamos voltar a dar uma olhada na forma diagonalizada ao quadrado:
Repara que a matriz e consequentemente a matriz não mudam. Essas são as matrizes formadas pelos autovetores, assim podemos chegar a conclusão que os autovetores permanecem os mesmos!
Dessa forma, a segunda afirmativa é verdadeira.
Resposta
c