Considere a reta definida por

Seja a tranformação linear que é a reflexão com relação a reta

1. Determine
2. Seja onde é o plano que contém e é ortogonal à reta Determine
3. Determine os autovalores de e os autoespaços associados de cada autovalor.
4. Determine uma base de tal que seja diagonal.
5. é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.
6. Determine
7. Determine uma base de
8. Determine explicitamente as matrizes e onde é a matriz de na base canônica.

(b)A situação que temos é a seguinte:

Sabendo que o plano contém a origem e a reta também, esse ponto de interseção vai ser a própria origem.

Como está nesse plano, ele vai ser ortogonal a reta em que estamos refletindo. Nesses casos,

(c) Como é uma reflexão por uma reta seus autovalores vão ser 1 e .

O autoespaço associado ao autovalor 1 vai ser a própria reta pois assim como vimos na letra (a), as reflexões dos vetores pertencentes a reta em que estamos refletindo vão ser os próprios vetores.

Já o autoespaço associado ao autovalor vai ser o plano da letra (b) por ser o complemento ortogonal da nossa reta. Ou seja, por conter todos os vetores ortogonais a reta!

A reflexão de um vetor ortogonal ao espaço em que estamos refletindo vai ser o próprio vetor com sentido invertido (mesmo módulo e direção), por isso atribuímos esse autovalor.

Vamos então, achar

Sei que é ortogonal ao plano e ele contém a origem, assim, sua equação cartesiana vai ser:

(d) Basta que seja a união de uma base de com uma base de , ou seja, .

Temos a base de

A base de podemos tirar da equação cartesiana :

Assim,

(e) Para isso, precisamos achar uma base ortonormal de formada de autovetores de . Eu já tenho, para transformar isso em ortogonal, vou substituir o terceiro vetor por um ortogonal aos dois primeiros que vou achar fazendo produto vetorial:

Então temos uma base ortogonal do composta de autovetores de : ,

Se acharmos uma base ortonormal vai ficar mais fácil de invertermos na diagonalização! Pois quando temos uma base ortonormal nas colunas, .

Vamos fazer isso então, apenas normalizando os vetores de

Assim,

(f) Como não é autovalor de , a dimensão do autoespaço associado a ele, ou seja, o núcleo, vai ser 0!

(g) Antes de pensar em achar a imagem, bora testar uma coisa: vamos usar o TNI para achar a dimensão da imagem:

Como a imagem pertence ao e sua dimensão é 3, ela vai ser o próprio

Podemos, então, pegar qualquer base do para ser base da imagem, como a canônica:

(h) Como é uma matriz reflexão, se eu aplicá-la um número ímpar de vezes, vai resultar a primeira reflexão, ou seja, vai ser como se eu tivesse aplicado a matriz uma vez só. Assim,.

Agora, se eu refletir (aplicando 1 vez) e depois refletir novamente, acabo voltando ao vetor inicial (aplicando 2 vezes) e isso não acontece apenas quando aplico 2 vezes, mas sempre que aplico um número par de vezes! Assim, .

Vamos encontrar para isso, é só multiplicar que encontramos na letra e):

Assim, e