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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Exercício 2612345678910111213141516171819202122232425

Enunciado

A5 T9

A matriz A = - 23 50 - 15 32 tem autovalores 2 e 7 . Então A 9 1 1 é igual a:

a   - 6 2 9 + 4 7 9 - 3 2 9 + 6 7 9

b   - 8 2 9 + 3 7 9 - 4 2 9 + 4 7 9

c   - 4 2 9 + 5 7 9 - 2 2 9 + 3 7 9

d   - 9 2 9 + 6 7 9 - 5 2 9 + 2 7 9

Passo 1

Bom, pra elevar a matriz à um expoente, precisamos diagonalizá-la. Já temos os autovalores, faltam os autovetores:

λ = 2 :

- 23 - 2 50 - 15 32 - 2 0 0 = - 2 5 50 - 15 3 0 0 0 ~ - 1 2 - 1 2 0 0 ~ - 1 2 0 0 0 0

- x + 2 y = 0

x = 2 y

2 y , y = y 2,1

V λ = 2 = 2,1

λ = 7 :

- 23 - 7 50 - 15 32 - 7 0 0 = - 30 50 - 15 25 0 0 ~ - 3 5 - 3 5 0 0 ~ - 3 5 0 0 0 0

- 3 x + 5 y = 0

3 x = 5 y

5 y , 3 y = y 5,3

V λ = 7 = 5,3

Passo 2

Então temos:

P = 2 5 1 3

D = 2 0 0 7

P - 1 = 1 det ⁡ P 3 - 5 - 1 2 = 3 - 5 - 1 2

Logo:

- 23 50 - 15 32 = 2 5 1 3 2 0 0 7 3 - 5 - 1 2

- 23 50 - 15 32 9 = 2 5 1 3 2 9 0 0 7 9 3 - 5 - 1 2 = 2 2 9 5 7 9 2 9 3 7 9 3 - 5 - 1 2 = 6 2 9 - 5 7 9 - 10 2 9 + 10 7 9 3 2 9 - 3 7 9 - 5 2 9 + 6 7 9

Agora multiplicamos pelo vetor 1,1 :

A 9 1 1 = 6 2 9 - 5 7 9 - 10 2 9 + 10 7 9 3 2 9 - 3 7 9 - 5 2 9 + 6 7 9 1 1 = - 4 2 9 + 5 7 9 - 2 2 9 + 3 7 9

Prontinho, letra c

Resposta

Letra ( c )

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .